Theorem relopab 3272

Description: A class of ordered pairs is a relation.

Assertion

Ref	Expression
relopab	⊢ Rel {⟨x, y⟩∣φ}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem relopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
2		visset 1816	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . 5 ⊢ (x ∈ V ⋀ y ∈ V)
4	3	a1i 8	. . . 4 ⊢ (φ → (x ∈ V ⋀ y ∈ V))
5	4	ssopab2i 2829	. . 3 ⊢ {⟨x, y⟩∣φ} ⊆ {⟨x, y⟩∣(x ∈ V ⋀ y ∈ V)}
6		df-xp 3190	. . 3 ⊢ (V × V) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ V ⋀ y ∈ V)}
7	5, 6	sseqtr4 2097	. 2 ⊢ {⟨x, y⟩∣φ} ⊆ (V × V)
8		df-rel 3191	. 2 ⊢ (Rel {⟨x, y⟩∣φ} ↔ {⟨x, y⟩∣φ} ⊆ (V × V))
9	7, 8	mpbir 190	1 ⊢ Rel {⟨x, y⟩∣φ}

Syntax hints:   ⋀ wa 223   ∈ wcel 960  Vcvv 1814   ⊆ wss 2050  {copab 2671   × cxp 3174  Rel wrel 3181

This theorem is referenced by:  opabid2 3273  inopab 3274  reli 3279  rele 3280  relcnv 3441  cnvopab 3451  relco 3490  funopab 3554  fnopabfv 3764  reloprab 3998  reldmoprab 4011  elopabi 4123  relen 4378  reldom 4379  aceq3lem 4742  climrel 6976  eltopsp 7605  tpsex 7606  msrel 7794  lmrel 7924  isring 8137  vcrel 8162  fiv 10470  hgrarel 10739

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191

Copyright terms: Public domain