Theorem relsn 3311

Description: A singleton of an ordered pair is a relation.

Hypothesis

Ref	Expression
relsn.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
relsn	⊢ Rel {⟨A, B⟩}

Proof of Theorem relsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2		opelxpi 3274	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ⋀ B ∈ V) → ⟨A, B⟩ ∈ (V × V))
3	1, 2	mpan 707	. . . 4 ⊢ (B ∈ V → ⟨A, B⟩ ∈ (V × V))
4		opprc2 2553	. . . . 5 ⊢ (¬ B ∈ V → ⟨A, B⟩ = ⟨A, A⟩)
5	1	opelxp 3271	. . . . . 6 ⊢ (⟨A, A⟩ ∈ (V × V) ↔ (A ∈ V ⋀ A ∈ V))
6	5, 1, 1	mpbir2an 742	. . . . 5 ⊢ ⟨A, A⟩ ∈ (V × V)
7	4, 6	syl6eqel 1603	. . . 4 ⊢ (¬ B ∈ V → ⟨A, B⟩ ∈ (V × V))
8	3, 7	pm2.61i 132	. . 3 ⊢ ⟨A, B⟩ ∈ (V × V)
9		snssi 2520	. . 3 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (V × V) → {⟨A, B⟩} ⊆ (V × V))
10	8, 9	ax-mp 7	. 2 ⊢ {⟨A, B⟩} ⊆ (V × V)
11		df-rel 3242	. 2 ⊢ (Rel {⟨A, B⟩} ↔ {⟨A, B⟩} ⊆ (V × V))
12	10, 11	mpbir 197	1 ⊢ Rel {⟨A, B⟩}

Syntax hints:  ¬ wn 2   ∈ wcel 999  Vcvv 1858   ⊆ wss 2098  {csn 2461  ⟨cop 2463   × cxp 3225  Rel wrel 3232

This theorem is referenced by:  cnvsn 3506  funsn 3600  fsn 3891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-opab 2722  df-xp 3241  df-rel 3242

Copyright terms: Public domain