Theorem relssdv 3306

Description: Deduction from subclass principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
relssdv.1	⊢ (φ → Rel A)
relssdv.2	⊢ (φ → (⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B))

Assertion

Ref	Expression
relssdv	⊢ (φ → A ⊆ B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   φ,x,y

Proof of Theorem relssdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdv.2	. . 3 ⊢ (φ → (⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B))
2	1	19.21aivv 1329	. 2 ⊢ (φ → ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B))
3		relssdv.1	. . 3 ⊢ (φ → Rel A)
4		ssrel 3304	. . 3 ⊢ (Rel A → (A ⊆ B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B)))
5	3, 4	syl 10	. 2 ⊢ (φ → (A ⊆ B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B)))
6	2, 5	mpbird 203	1 ⊢ (φ → A ⊆ B)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 153  ∀wal 995   ∈ wcel 999   ⊆ wss 2098  ⟨cop 2463  Rel wrel 3232

This theorem is referenced by:  ssxp 3313  relssres 3449  relssdr 3570  aceq3lem 4794  infxpidmlem7 7650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-opab 2722  df-xp 3241  df-rel 3242

Copyright terms: Public domain