Theorem relssi 3305

Description: Inference from subclass principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	⊢ Rel A
relssi.2	⊢ (⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B)

Assertion

Ref	Expression
relssi	⊢ A ⊆ B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 ⊢ Rel A
2		ssrel 3304	. . 3 ⊢ (Rel A → (A ⊆ B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ (A ⊆ B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B))
4		relssi.2	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B)
5	4	ax-gen 1004	. 2 ⊢ ∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B)
6	3, 5	mpgbir 1029	1 ⊢ A ⊆ B

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 153  ∀wal 995   ∈ wcel 999   ⊆ wss 2098  ⟨cop 2463  Rel wrel 3232

This theorem is referenced by:  xpsspw 3314  resiexg 3453  oprssdm 4100  ecopoprdm 4370  enssdom 4444  idssen 4467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-opab 2722  df-xp 3241  df-rel 3242

Copyright terms: Public domain