Theorem renegcl 5428

Description: Closure law for negative of reals.

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ A ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ -A ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
2		axrnegex 5295	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃x ∈ ℝ (A + x) = 0)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ∃x ∈ ℝ (A + x) = 0
4		df-rex 1653	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℝ (A + x) = 0 ↔ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0))
5	3, 4	mpbi 189	. 2 ⊢ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0)
6		recnt 5325	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → x ∈ ℂ)
7		0cn 5340	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
8	1	recn 5326	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℂ
9		subaddt 5387	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ ⋀ x ∈ ℂ) → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
10	7, 8, 9	mp3an12 908	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℂ → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
11	6, 10	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
12		df-neg 5370	. . . . . . 7 ⊢ -A = (0 − A)
13	12	eqeq1i 1485	. . . . . 6 ⊢ (-A = x ↔ (0 − A) = x)
14	11, 13	syl5bb 534	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (-A = x ↔ (A + x) = 0))
15		eleq1a 1546	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (-A = x → -A ∈ ℝ))
16	14, 15	sylbird 205	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℝ → ((A + x) = 0 → -A ∈ ℝ))
17	16	imp 350	. . 3 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0) → -A ∈ ℝ)
18	17	19.23aiv 1297	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0) → -A ∈ ℝ)
19	5, 18	ax-mp 7	1 ⊢ -A ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∃wrex 1649  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   − cmin 5304  -cneg 5305

This theorem is referenced by:  renegclt 5449  ltsubadd 5606  ltneg 5615  leneg 5616  ltnegcon2 5617  lesub0 5624  msqgt0 5625  recgt0i 5816  prodge0 5822  elnnz1 6157  icoshftf1oi 6410  bernneq 6653  discrlem1 6657  discrlem3 6659  sqrlem11 6684  inelr 6736  crulem 6737  crrecz 6742  nthruz 6747  cjcj 6778  recj 6782  imcj 6783  reneg 6794  imneg 6796  abslt 6875  absle 6876  infcvglem1 7221  infcvglem2 7222  infcvglem3 7223  dsupivthlem 7291  efgt0 7404  eflegeolem2 7414  sincos2sgn 7481  znnen 7503  ipid 8359  ipasslem10 8495  minveclem12 8552  pilem1 8666  pilem2 8667  pilem3 8668  efifolem1 8717  efifolem5 8721  eff1o 8743  resslogrn 8748  pilog 8763  hisubcom 8965  normlem2 8972  normlem9 8979  projlem5 9185  projlem8 9188  projlem11 9191  projlem13 9193  projlem15 9195  hmopdt 9942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370

Copyright terms: Public domain