Theorem renfdisj 5551

Description: The reals and the infinities are disjoint.

Assertion

Ref	Expression
renfdisj	⊢ (ℝ ∩ { +∞, -∞}) = ∅

Proof of Theorem renfdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 2417	. . 3 ⊢ { +∞, -∞} = ({ +∞} ∪ { -∞})
2	1	ineq2i 2217	. 2 ⊢ (ℝ ∩ { +∞, -∞}) = (ℝ ∩ ({ +∞} ∪ { -∞}))
3		eqid 1478	. . . . . 6 ⊢ +∞ = +∞
4		renepnft 5549	. . . . . . 7 ⊢ ( +∞ ∈ ℝ → +∞ ≠ +∞)
5		df-ne 1590	. . . . . . 7 ⊢ ( +∞ ≠ +∞ ↔ ¬ +∞ = +∞)
6	4, 5	sylib 198	. . . . . 6 ⊢ ( +∞ ∈ ℝ → ¬ +∞ = +∞)
7	3, 6	mt2 109	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
8		disjsn 2445	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∩ { +∞}) = ∅ ↔ ¬ +∞ ∈ ℝ)
9	7, 8	mpbir 190	. . . 4 ⊢ (ℝ ∩ { +∞}) = ∅
10		eqid 1478	. . . . . 6 ⊢ -∞ = -∞
11		renemnft 5550	. . . . . . 7 ⊢ ( -∞ ∈ ℝ → -∞ ≠ -∞)
12		df-ne 1590	. . . . . . 7 ⊢ ( -∞ ≠ -∞ ↔ ¬ -∞ = -∞)
13	11, 12	sylib 198	. . . . . 6 ⊢ ( -∞ ∈ ℝ → ¬ -∞ = -∞)
14	10, 13	mt2 109	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
15		disjsn 2445	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∩ { -∞}) = ∅ ↔ ¬ -∞ ∈ ℝ)
16	14, 15	mpbir 190	. . . 4 ⊢ (ℝ ∩ { -∞}) = ∅
17	9, 16	pm3.2i 285	. . 3 ⊢ ((ℝ ∩ { +∞}) = ∅ ⋀ (ℝ ∩ { -∞}) = ∅)
18		undisj2 2325	. . 3 ⊢ (((ℝ ∩ { +∞}) = ∅ ⋀ (ℝ ∩ { -∞}) = ∅) ↔ (ℝ ∩ ({ +∞} ∪ { -∞})) = ∅)
19	17, 18	mpbi 189	. 2 ⊢ (ℝ ∩ ({ +∞} ∪ { -∞})) = ∅
20	2, 19	eqtr 1498	1 ⊢ (ℝ ∩ { +∞, -∞}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 2   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   ∪ cun 2048   ∩ cin 2049  ∅c0 2283  {csn 2413  {cpr 2414  ℝcr 5245   +∞cpnf 5495   -∞cmnf 5496

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-pnf 5499  df-mnf 5500

Copyright terms: Public domain