Theorem resinvalt 7433

Description: The sine of a real number in terms of the exponential function.

Assertion

Ref	Expression
resinvalt	⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) = (ℑ ‘(exp ‘(i · A))))

Proof of Theorem resinvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnt 5325	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
2		axicn 5282	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
3		cjmult 6813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → (∗ ‘(i · A)) = ((∗ ‘i) · (∗ ‘A)))
4	2, 3	mpan 697	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘(i · A)) = ((∗ ‘i) · (∗ ‘A)))
5	1, 4	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (∗ ‘(i · A)) = ((∗ ‘i) · (∗ ‘A)))
6		cjret 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (∗ ‘A) = A)
7	6	opreq2d 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (-i · (∗ ‘A)) = (-i · A))
8		cji 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗ ‘i) = -i
9	8	opreq1i 3977	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ‘i) · (∗ ‘A)) = (-i · (∗ ‘A))
10	7, 9	syl5eq 1522	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((∗ ‘i) · (∗ ‘A)) = (-i · A))
11	5, 10	eqtrd 1510	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (∗ ‘(i · A)) = (-i · A))
12	11	fveq2d 3734	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → (exp ‘(∗ ‘(i · A))) = (exp ‘(-i · A)))
13		axmulcl 5285	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → (i · A) ∈ ℂ)
14	2, 13	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (i · A) ∈ ℂ)
15	1, 14	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (i · A) ∈ ℂ)
16		efcjt 7337	. . . . . 6 ⊢ ((i · A) ∈ ℂ → (exp ‘(∗ ‘(i · A))) = (∗ ‘(exp ‘(i · A))))
17	15, 16	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → (exp ‘(∗ ‘(i · A))) = (∗ ‘(exp ‘(i · A))))
18	12, 17	eqtr3d 1512	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → (exp ‘(-i · A)) = (∗ ‘(exp ‘(i · A))))
19	18	opreq2d 3982	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → ((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) = ((exp ‘(i · A)) − (∗ ‘(exp ‘(i · A)))))
20	19	opreq1d 3981	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) / (2 · i)) = (((exp ‘(i · A)) − (∗ ‘(exp ‘(i · A)))) / (2 · i)))
21		sinvalt 7429	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘A) = (((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) / (2 · i)))
22	1, 21	syl 10	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) = (((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) / (2 · i)))
23		efclt 7312	. . . 4 ⊢ ((i · A) ∈ ℂ → (exp ‘(i · A)) ∈ ℂ)
24	15, 23	syl 10	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → (exp ‘(i · A)) ∈ ℂ)
25		imcjt 6819	. . 3 ⊢ ((exp ‘(i · A)) ∈ ℂ → (ℑ ‘(exp ‘(i · A))) = (((exp ‘(i · A)) − (∗ ‘(exp ‘(i · A)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 10	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (ℑ ‘(exp ‘(i · A))) = (((exp ‘(i · A)) − (∗ ‘(exp ‘(i · A)))) / (2 · i)))
27	20, 22, 26	3eqtr4d 1520	1 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) = (ℑ ‘(exp ‘(i · A))))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  ici 5248   · cmul 5251   − cmin 5304  -cneg 5305   / cdiv 5306  2c2 5963  ℑcim 6749  ∗ccj 6750  expce 7293  sincsin 7295

This theorem is referenced by:  resin4pt 7436  resinclt 7438  sin0 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300

Copyright terms: Public domain