Theorem resubcl 5503

Description: Closure law for subtraction of reals.

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A − B) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsub 5447	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A + -B) = (A − B))
2		recn 5378	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
3		recn 5378	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 465	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A + -B) = (A − B))
5		readdcl 5367	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ -B ∈ ℝ) → (A + -B) ∈ ℝ)
6		renegcl 5502	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → -B ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 462	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A + -B) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 1596	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A − B) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 230   = wceq 997   ∈ wcel 999  (class class class)co 4021  ℂcc 5297  ℝcr 5298   + caddc 5302   − cmin 5357  -cneg 5358

This theorem is referenced by:  resubcli 5504  peano2rem 5507  ltaddsub 5696  leaddsub 5698  posdif 5719  suble0 5740  uzindOLD 6293  qbtwnre 6331  intfracq 6367  fldiv 6368  modcl 6373  iooshf 6421  expubnd 6697  reim0 6864  absdiflt 6973  absdifle 6974  abssubge0 6985  abs2difabs 6993  caurei 7017  cauimi 7018  ser1absdiflem 7019  climge0 7202  climcmplem 7227  climsqueeze 7230  climsqueeze2 7231  climubii 7243  climsupi 7245  caucvglem5 7251  caucvglem6 7252  caucvgi 7253  cvgcmp3ci 7276  ivthlem6 7376  ivthlem7 7377  efaddlem1 7428  resin4p 7527  recos4p 7528  sin01bndlem3 7561  cos01bndlem3 7563  sin01gt0 7568  cos01gt0 7569  blss 7938  bl2ioo 7996  ioo2bl 7997  blssioo 7998  tgioolem 7999  lmle 8045  nvabs 8385  nmcnilem 8421  ipcj 8451  minveclem24 8652  minveclem25 8653  minveclem26 8654  minveclem27 8655  sincosq1sgn 8787  sincosq2sgn 8788  sincosq3sgn 8789  sincosq4sgn 8790  sinq12gt0t 8791  sineq0 8796  efif1lem1 8813  efif1lem2 8814  shftefif1olem 8824  relogdiv 8854  projlem25 9293  projlem26 9294  dmse1 10705  msr3 10707  msr4 10708  mslb1 10711  2wsms 10712  iintlem1 10714  iint 10716  trran 10718  cnvtr 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-sub 5421  df-neg 5423

Copyright terms: Public domain