Theorem reucl2 2894

Description: Membership law for "the unique element in A such that φ."

Assertion

Ref	Expression
reucl2	⊢ (∃!x ∈ A φ → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ {x ∈ A∣φ})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem reucl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reucl 2891	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ A)
2		reuuni4 2893	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ A φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)
3	1, 2	jca 288	. 2 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A ⋀ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
4		ax-17 973	. . 3 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
5	4	elrabsf 1966	. 2 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ {x ∈ A∣φ} ↔ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A ⋀ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
6	3, 5	sylibr 200	1 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ {x ∈ A∣φ})

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ∈ wcel 960  [wsbc 1172  ∃!wreu 1650  {crab 1651  ∪cuni 2507

This theorem is referenced by:  reuunixfr 2912  lbcl 6048

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-uni 2508

Copyright terms: Public domain