Theorem reuuni4 2893

Description: Derive the property of "the unique element in A such that φ" when expressed explicitly as ∪{x ∈ A∣φ}.

Assertion

Ref	Expression
reuuni4	⊢ (∃!x ∈ A φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem reuuni4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reucl 2891	. 2 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ A)
2		reurex 1931	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∃x ∈ A φ)
3		hbreu1 1771	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∀x∃!x ∈ A φ)
4		hbrab1 1775	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ {x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ {x ∈ A∣φ})
5	4	hbuni 2513	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∪{x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ ∪{x ∈ A∣φ})
6	5	hbsbc1 1952	. . . . 5 ⊢ ((∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ) → ∀x(∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
7		reuuni1 2888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ A ⋀ ∃!x ∈ A φ) → (φ ↔ ∪{x ∈ A∣φ} = x))
8		sbceq1a 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ∪{x ∈ A∣φ} → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
9	8	eqcoms 1481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} = x → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
10	7, 9	syl6bi 214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ⋀ ∃!x ∈ A φ) → (φ → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
11	10	ibd 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A ⋀ ∃!x ∈ A φ) → (φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
12	11	expcom 374	. . . . . . 7 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
13	12	a1i 8	. . . . . 6 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))))
14	13	com4l 39	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))))
15	3, 6, 14	r19.23ad 1748	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∃x ∈ A φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
16	2, 15	mpd 26	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
17		elisset 1820	. . 3 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ V)
18	16, 17	syl5 21	. 2 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
19	1, 18	mpd 26	1 ⊢ (∃!x ∈ A φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  [wsbc 1172  ∃wrex 1649  ∃!wreu 1650  {crab 1651  Vcvv 1814  ∪cuni 2507

This theorem is referenced by:  reucl2 2894  reuuniss 2895  reuuniss2 2897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-uni 2508

Copyright terms: Public domain