Theorem reuuniss 2946

Description: Restriction of a unique element to a smaller class.

Assertion

Ref	Expression
reuuniss	⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ∪{x ∈ A∣φ} = ∪{x ∈ B∣φ})

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem reuuniss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuss 2327	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ∃!x ∈ A φ)
2		reuuni4 2944	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ A φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)
3	1, 2	syl 10	. . 3 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)
4		hbrab1 1819	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ {x ∈ A∣φ})
5	4	hbuni 2563	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∪{x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ ∪{x ∈ A∣φ})
6	5	hbsbc1g 1995	. . . . 5 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ B → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]φ → ∀x[∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
7		sbceq1a 1991	. . . . 5 ⊢ (x = ∪{x ∈ A∣φ} → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
8	5, 6, 7	reuuni2f 2940	. . . 4 ⊢ ((∪{x ∈ A∣φ} ∈ B ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]φ ↔ ∪{x ∈ B∣φ} = ∪{x ∈ A∣φ}))
9		reucl 2942	. . . . . 6 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ A)
10	1, 9	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ A)
11		ssel 2114	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ B → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ B))
12	11	3ad2ant1 812	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ B))
13	10, 12	mpd 26	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ B)
14		3simp3 802	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ∃!x ∈ B φ)
15	8, 13, 14	sylanc 482	. . 3 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]φ ↔ ∪{x ∈ B∣φ} = ∪{x ∈ A∣φ}))
16	3, 15	mpbid 202	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ∪{x ∈ B∣φ} = ∪{x ∈ A∣φ})
17	16	eqcomd 1527	1 ⊢ ((A ⊆ B ⋀ ∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B φ) → ∪{x ∈ A∣φ} = ∪{x ∈ B∣φ})

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 153   ⋀ w3a 787   = wceq 997   ∈ wcel 999  [wsbc 1212  ∃wrex 1693  ∃!wreu 1694  {crab 1695   ⊆ wss 2098  ∪cuni 2557

This theorem is referenced by:  mouniss 2947  supxrre 6165

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-uni 2558

Copyright terms: Public domain