Theorem reuuniss2 2948

Description: Restriction of a unique element to a smaller class.

Assertion

Ref	Expression
reuuniss2	⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∪{x ∈ A∣φ} = ∪{x ∈ B∣ψ})

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem reuuniss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuuni4 2944	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ A φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)
2		reucl 2942	. . . . . 6 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ A)
3		ra4sbc 2047	. . . . . . 7 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → (∀x ∈ A (φ → ψ) → [∪{x ∈ A∣φ} / x](φ → ψ)))
4		sbcimg 2020	. . . . . . 7 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → ([∪{x ∈ A∣φ} / x](φ → ψ) ↔ ([∪{x ∈ A∣φ} / x]φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ)))
5	3, 4	sylibd 209	. . . . . 6 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → (∀x ∈ A (φ → ψ) → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ)))
6	2, 5	syl 10	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∀x ∈ A (φ → ψ) → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ)))
7	1, 6	mpid 47	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∀x ∈ A (φ → ψ) → [∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ))
8		reuss2 2326	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∃!x ∈ A φ)
9		simplr 422	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∀x ∈ A (φ → ψ))
10	7, 8, 9	sylc 71	. . 3 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → [∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ)
11		hbrab1 1819	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ {x ∈ A∣φ})
12	11	hbuni 2563	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∪{x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ ∪{x ∈ A∣φ})
13	12	hbsbc1g 1995	. . . . 5 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ B → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ → ∀x[∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ))
14		sbceq1a 1991	. . . . 5 ⊢ (x = ∪{x ∈ A∣φ} → (ψ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ))
15	12, 13, 14	reuuni2f 2940	. . . 4 ⊢ ((∪{x ∈ A∣φ} ∈ B ⋀ ∃!x ∈ B ψ) → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ ↔ ∪{x ∈ B∣ψ} = ∪{x ∈ A∣φ}))
16	8, 2	syl 10	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ A)
17		ssel 2114	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ B → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ B))
18	17	ad2antrr 413	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ B))
19	16, 18	mpd 26	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ B)
20		simprr 424	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∃!x ∈ B ψ)
21	15, 19, 20	sylanc 482	. . 3 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ([∪{x ∈ A∣φ} / x]ψ ↔ ∪{x ∈ B∣ψ} = ∪{x ∈ A∣φ}))
22	10, 21	mpbid 202	. 2 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∪{x ∈ B∣ψ} = ∪{x ∈ A∣φ})
23	22	eqcomd 1527	1 ⊢ (((A ⊆ B ⋀ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ⋀ (∃x ∈ A φ ⋀ ∃!x ∈ B ψ)) → ∪{x ∈ A∣φ} = ∪{x ∈ B∣ψ})

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 153   ⋀ wa 230   = wceq 997   ∈ wcel 999  [wsbc 1212  ∀wral 1692  ∃wrex 1693  ∃!wreu 1694  {crab 1695   ⊆ wss 2098  ∪cuni 2557

This theorem is referenced by:  grpidinv2 8144  grpinv 8153

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-uni 2558

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