Theorem rext 2760

Description: A theorem similar to extensionality, requiring the existence of a singleton. Exercise 8 of [TakeutiZaring] p. 16.

Assertion

Ref	Expression
rext	⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → x = y)

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem rext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . 4 ⊢ x ∈ V
2	1	snid 2439	. . 3 ⊢ x ∈ {x}
3		snex 2756	. . . 4 ⊢ {x} ∈ V
4		eleq2 1538	. . . . 5 ⊢ (z = {x} → (x ∈ z ↔ x ∈ {x}))
5		eleq2 1538	. . . . 5 ⊢ (z = {x} → (y ∈ z ↔ y ∈ {x}))
6	4, 5	imbi12d 628	. . . 4 ⊢ (z = {x} → ((x ∈ z → y ∈ z) ↔ (x ∈ {x} → y ∈ {x})))
7	3, 6	cla4v 1871	. . 3 ⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → (x ∈ {x} → y ∈ {x}))
8	2, 7	mpi 44	. 2 ⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → y ∈ {x})
9		elsn 2425	. . 3 ⊢ (y ∈ {x} ↔ y = x)
10		equcomi 1130	. . 3 ⊢ (y = x → x = y)
11	9, 10	sylbi 199	. 2 ⊢ (y ∈ {x} → x = y)
12	8, 11	syl 10	1 ⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → x = y)

Syntax hints:   → wi 3  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  {csn 2413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417

Copyright terms: Public domain