Theorem riesz1t 9993

Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2t 9994. For the continuous linear functional version, see riesz3 9990 and riesz4t 9992.

Assertion

Ref	Expression
riesz1t	⊢ (T ∈ LinFn → ((normfn ‘T) ∈ ℝ ↔ ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y)))

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem riesz1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbdt 9987	. 2 ⊢ (T ∈ LinFn → (T ∈ ConFn ↔ (normfn ‘T) ∈ ℝ))
2		elin 2210	. . . . 5 ⊢ (T ∈ (LinFn ∩ ConFn) ↔ (T ∈ LinFn ⋀ T ∈ ConFn))
3		fveq1 3729	. . . . . . . 8 ⊢ (T = if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) → (T ‘x) = ( if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) ‘x))
4	3	eqeq1d 1486	. . . . . . 7 ⊢ (T = if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) → ((T ‘x) = (x ·ih y) ↔ ( if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) ‘x) = (x ·ih y)))
5	4	rexralbidv 1685	. . . . . 6 ⊢ (T = if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) → (∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y) ↔ ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ ( if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) ‘x) = (x ·ih y)))
6		inss1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ConFn) ⊆ LinFn
7		elin 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ConFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ⋀ ( ℋ × {0}) ∈ ConFn))
8		0lnfn 9904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
9		0cnfn 9899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ConFn
10	7, 8, 9	mpbir2an 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ConFn)
11	10	elimel 2398	. . . . . . . 8 ⊢ if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ConFn)
12	6, 11	sselii 2069	. . . . . . 7 ⊢ if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
13		inss2 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ConFn) ⊆ ConFn
14	13, 11	sselii 2069	. . . . . . 7 ⊢ if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) ∈ ConFn
15	12, 14	riesz3 9990	. . . . . 6 ⊢ ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ ( if(T ∈ (LinFn ∩ ConFn), T, ( ℋ × {0})) ‘x) = (x ·ih y)
16	5, 15	dedth 2387	. . . . 5 ⊢ (T ∈ (LinFn ∩ ConFn) → ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y))
17	2, 16	sylbir 201	. . . 4 ⊢ ((T ∈ LinFn ⋀ T ∈ ConFn) → ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y))
18	17	ex 373	. . 3 ⊢ (T ∈ LinFn → (T ∈ ConFn → ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y)))
19		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ‘x) = (x ·ih y) → (abs ‘(T ‘x)) = (abs ‘(x ·ih y)))
20	19	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((T ∈ LinFn ⋀ x ∈ ℋ ) ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ (T ‘x) = (x ·ih y)) → (abs ‘(T ‘x)) = (abs ‘(x ·ih y)))
21		bcst 9043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (abs ‘(x ·ih y)) ≤ ((normh ‘x) · (normh ‘y)))
22		axmulcom 5288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((normh ‘x) ∈ ℂ ⋀ (normh ‘y) ∈ ℂ) → ((normh ‘x) · (normh ‘y)) = ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
23		recnt 5325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normh ‘x) ∈ ℝ → (normh ‘x) ∈ ℂ)
24		recnt 5325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normh ‘y) ∈ ℝ → (normh ‘y) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normh ‘x) ∈ ℝ ⋀ (normh ‘y) ∈ ℝ) → ((normh ‘x) · (normh ‘y)) = ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
26		normclt 8986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℋ → (normh ‘x) ∈ ℝ)
27		normclt 8986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ℋ → (normh ‘y) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((normh ‘x) · (normh ‘y)) = ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
29	21, 28	breqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (abs ‘(x ·ih y)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
30	29	adantll 394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((T ∈ LinFn ⋀ x ∈ ℋ ) ⋀ y ∈ ℋ ) → (abs ‘(x ·ih y)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
31	30	adantr 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((T ∈ LinFn ⋀ x ∈ ℋ ) ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ (T ‘x) = (x ·ih y)) → (abs ‘(x ·ih y)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
32	20, 31	eqbrtrd 2640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((T ∈ LinFn ⋀ x ∈ ℋ ) ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ (T ‘x) = (x ·ih y)) → (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
33	32	ex 373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((T ∈ LinFn ⋀ x ∈ ℋ ) ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘x) = (x ·ih y) → (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x))))
34	33	an1rs 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((T ∈ LinFn ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ x ∈ ℋ ) → ((T ‘x) = (x ·ih y) → (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x))))
35	34	r19.20dva 1712	. . . . . . 7 ⊢ ((T ∈ LinFn ⋀ y ∈ ℋ ) → (∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y) → ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x))))
36	27	adantl 390	. . . . . . 7 ⊢ ((T ∈ LinFn ⋀ y ∈ ℋ ) → (normh ‘y) ∈ ℝ)
37	35, 36	jctild 603	. . . . . 6 ⊢ ((T ∈ LinFn ⋀ y ∈ ℋ ) → (∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y) → ((normh ‘y) ∈ ℝ ⋀ ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x)))))
38		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = (normh ‘y) → (z · (normh ‘x)) = ((normh ‘y) · (normh ‘x)))
39	38	breq2d 2635	. . . . . . . 8 ⊢ (z = (normh ‘y) → ((abs ‘(T ‘x)) ≤ (z · (normh ‘x)) ↔ (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x))))
40	39	ralbidv 1666	. . . . . . 7 ⊢ (z = (normh ‘y) → (∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ (z · (normh ‘x)) ↔ ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x))))
41	40	rcla4ev 1880	. . . . . 6 ⊢ (((normh ‘y) ∈ ℝ ⋀ ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ ((normh ‘y) · (normh ‘x))) → ∃z ∈ ℝ ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ (z · (normh ‘x)))
42	37, 41	syl6 22	. . . . 5 ⊢ ((T ∈ LinFn ⋀ y ∈ ℋ ) → (∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y) → ∃z ∈ ℝ ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ (z · (normh ‘x))))
43	42	r19.23adva 1750	. . . 4 ⊢ (T ∈ LinFn → (∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y) → ∃z ∈ ℝ ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ (z · (normh ‘x))))
44		lnfncont 9986	. . . 4 ⊢ (T ∈ LinFn → (T ∈ ConFn ↔ ∃z ∈ ℝ ∀x ∈ ℋ (abs ‘(T ‘x)) ≤ (z · (normh ‘x))))
45	43, 44	sylibrd 204	. . 3 ⊢ (T ∈ LinFn → (∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y) → T ∈ ConFn))
46	18, 45	impbid 518	. 2 ⊢ (T ∈ LinFn → (T ∈ ConFn ↔ ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y)))
47	1, 46	bitr3d 532	1 ⊢ (T ∈ LinFn → ((normfn ‘T) ∈ ℝ ↔ ∃y ∈ ℋ ∀x ∈ ℋ (T ‘x) = (x ·ih y)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649   ∩ cin 2049   ifcif 2365  {csn 2413   class class class wbr 2624   × cxp 3174   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   · cmul 5251   ≤ cle 5307  abscabs 6751   ℋ chil 8783   ·_ih csp 8788  norm_hcno 8789  norm_fncnmf 8815  ConFnccnf 8817  LinFnclf 8818

This theorem is referenced by:  rnbra 10035

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-nmfn 9766  df-nlfn 9767  df-cnfn 9768  df-lnfn 9769

Copyright terms: Public domain