Theorem riesz4 9991

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104.

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ T ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ T ∈ ConFn

Assertion

Ref	Expression
riesz4	⊢ ∃!w ∈ ℋ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w)

Distinct variable group:   w,v,T

Proof of Theorem riesz4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (w = u → (v ·ih w) = (v ·ih u))
2	1	eqeq2d 1489	. . . 4 ⊢ (w = u → ((T ‘v) = (v ·ih w) ↔ (T ‘v) = (v ·ih u)))
3	2	ralbidv 1666	. . 3 ⊢ (w = u → (∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ↔ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih u)))
4	3	reu4 1937	. 2 ⊢ (∃!w ∈ ℋ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ↔ (∃w ∈ ℋ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ ∀w ∈ ℋ ∀u ∈ ℋ ((∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih u)) → w = u)))
5		nlelch.1	. . 3 ⊢ T ∈ LinFn
6		nlelch.2	. . 3 ⊢ T ∈ ConFn
7	5, 6	riesz3 9990	. 2 ⊢ ∃w ∈ ℋ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w)
8		hvsubclt 8882	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → (w −h u) ∈ ℋ )
9		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = (w −h u) → (v ·ih w) = ((w −h u) ·ih w))
10		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = (w −h u) → (v ·ih u) = ((w −h u) ·ih u))
11	9, 10	opreq12d 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (v = (w −h u) → ((v ·ih w) − (v ·ih u)) = (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)))
12	11	eqeq1d 1486	. . . . . . 7 ⊢ (v = (w −h u) → (((v ·ih w) − (v ·ih u)) = 0 ↔ (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)) = 0))
13	12	rcla4v 1876	. . . . . 6 ⊢ ((w −h u) ∈ ℋ → (∀v ∈ ℋ ((v ·ih w) − (v ·ih u)) = 0 → (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)) = 0))
14	8, 13	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → (∀v ∈ ℋ ((v ·ih w) − (v ·ih u)) = 0 → (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)) = 0))
15		normclt 8986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w −h u) ∈ ℋ → (normh ‘(w −h u)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 5327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((w −h u) ∈ ℋ → (normh ‘(w −h u)) ∈ ℂ)
17		sqeq0t 6614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normh ‘(w −h u)) ∈ ℂ → (((normh ‘(w −h u))↑2) = 0 ↔ (normh ‘(w −h u)) = 0))
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((w −h u) ∈ ℋ → (((normh ‘(w −h u))↑2) = 0 ↔ (normh ‘(w −h u)) = 0))
19		norm-it 8991	. . . . . . . 8 ⊢ ((w −h u) ∈ ℋ → ((normh ‘(w −h u)) = 0 ↔ (w −h u) = 0h))
20	18, 19	bitrd 530	. . . . . . 7 ⊢ ((w −h u) ∈ ℋ → (((normh ‘(w −h u))↑2) = 0 ↔ (w −h u) = 0h))
21	8, 20	syl 10	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → (((normh ‘(w −h u))↑2) = 0 ↔ (w −h u) = 0h))
22		normsqt 8996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((w −h u) ∈ ℋ → ((normh ‘(w −h u))↑2) = ((w −h u) ·ih (w −h u)))
23	8, 22	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → ((normh ‘(w −h u))↑2) = ((w −h u) ·ih (w −h u)))
24		his2sub2t 8954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((w −h u) ∈ ℋ ⋀ w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → ((w −h u) ·ih (w −h u)) = (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)))
25		pm3.26 319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → w ∈ ℋ )
26		pm3.27 323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → u ∈ ℋ )
27	24, 8, 25, 26	syl3anc 860	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → ((w −h u) ·ih (w −h u)) = (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)))
28	23, 27	eqtrd 1510	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → ((normh ‘(w −h u))↑2) = (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)))
29	28	eqeq1d 1486	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → (((normh ‘(w −h u))↑2) = 0 ↔ (((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)) = 0))
30		hvsubeq0t 8930	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → ((w −h u) = 0h ↔ w = u))
31	21, 29, 30	3bitr3d 550	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → ((((w −h u) ·ih w) − ((w −h u) ·ih u)) = 0 ↔ w = u))
32	14, 31	sylibd 202	. . . 4 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → (∀v ∈ ℋ ((v ·ih w) − (v ·ih u)) = 0 → w = u))
33		r19.26 1753	. . . . 5 ⊢ (∀v ∈ ℋ ((T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ (T ‘v) = (v ·ih u)) ↔ (∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih u)))
34		opreq12 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (((T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ (T ‘v) = (v ·ih u)) → ((T ‘v) − (T ‘v)) = ((v ·ih w) − (v ·ih u)))
35	34	adantl 390	. . . . . . 7 ⊢ ((v ∈ ℋ ⋀ ((T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ (T ‘v) = (v ·ih u))) → ((T ‘v) − (T ‘v)) = ((v ·ih w) − (v ·ih u)))
36	5	lnfnf 9965	. . . . . . . . . 10 ⊢ T: ℋ –→ℂ
37	36	ffvelrni 3821	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ ℋ → (T ‘v) ∈ ℂ)
38		subidt 5407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((T ‘v) ∈ ℂ → ((T ‘v) − (T ‘v)) = 0)
39	37, 38	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ (v ∈ ℋ → ((T ‘v) − (T ‘v)) = 0)
40	39	adantr 391	. . . . . . 7 ⊢ ((v ∈ ℋ ⋀ ((T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ (T ‘v) = (v ·ih u))) → ((T ‘v) − (T ‘v)) = 0)
41	35, 40	eqtr3d 1512	. . . . . 6 ⊢ ((v ∈ ℋ ⋀ ((T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ (T ‘v) = (v ·ih u))) → ((v ·ih w) − (v ·ih u)) = 0)
42	41	r19.20ia 1708	. . . . 5 ⊢ (∀v ∈ ℋ ((T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ (T ‘v) = (v ·ih u)) → ∀v ∈ ℋ ((v ·ih w) − (v ·ih u)) = 0)
43	33, 42	sylbir 201	. . . 4 ⊢ ((∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih u)) → ∀v ∈ ℋ ((v ·ih w) − (v ·ih u)) = 0)
44	32, 43	syl5 21	. . 3 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ u ∈ ℋ ) → ((∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih u)) → w = u))
45	44	rgen2a 1702	. 2 ⊢ ∀w ∈ ℋ ∀u ∈ ℋ ((∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w) ⋀ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih u)) → w = u)
46	4, 7, 45	mpbir2an 732	1 ⊢ ∃!w ∈ ℋ ∀v ∈ ℋ (T ‘v) = (v ·ih w)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  ∃!wreu 1650   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246   − cmin 5304  2c2 5963  ↑cexp 6569   ℋ chil 8783  0_hc0v 8786   −_h cmv 8787   ·_ih csp 8788  norm_hcno 8789  ConFnccnf 8817  LinFnclf 8818

This theorem is referenced by:  riesz4t 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-nlfn 9767  df-cnfn 9768  df-lnfn 9769

Copyright terms: Public domain