Theorem sbthcl 4465

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form.

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4378	. 2 ⊢ Rel ≈
2		reldom 4379	. . 3 ⊢ Rel ≼
3		relin1 3268	. . 3 ⊢ (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ ))
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )
5		visset 1816	. . . 4 ⊢ y ∈ V
6		sbthbg 4464	. . . 4 ⊢ (y ∈ V → ((x ≼ y ⋀ y ≼ x) ↔ x ≈ y))
7	5, 6	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ((x ≼ y ⋀ y ≼ x) ↔ x ≈ y)
8		df-br 2625	. . . . 5 ⊢ (x ≼ y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ≼ )
9		df-br 2625	. . . . . 6 ⊢ (y ≼ x ↔ ⟨y, x⟩ ∈ ≼ )
10		visset 1816	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
11	10, 5	opelcnv 3304	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ ↔ ⟨y, x⟩ ∈ ≼ )
12	9, 11	bitr4 176	. . . . 5 ⊢ (y ≼ x ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ )
13	8, 12	anbi12i 484	. . . 4 ⊢ ((x ≼ y ⋀ y ≼ x) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ ≼ ⋀ ⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ ))
14		elin 2210	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ ≼ ⋀ ⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ ))
15	13, 14	bitr4 176	. . 3 ⊢ ((x ≼ y ⋀ y ≼ x) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ))
16		df-br 2625	. . 3 ⊢ (x ≈ y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ≈ )
17	7, 15, 16	3bitr3r 182	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ≈ ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ))
18	1, 4, 17	eqrelriv 3257	1 ⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  Vcvv 1814   ∩ cin 2049  ⟨cop 2415   class class class wbr 2624  ^◡ccnv 3175  Rel wrel 3181   ≈ cen 4370   ≼ cdom 4371

This theorem is referenced by:  dfsdom2 4466

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain