Theorem shsubclt 9084

Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shsubclt	⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ A ∈ H ⋀ B ∈ H) → (A −h B) ∈ H)

Proof of Theorem shsubclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 9074	. . . . . 6 ⊢ (H ∈ Sℋ → H ⊆ ℋ )
2	1	sseld 2070	. . . . 5 ⊢ (H ∈ Sℋ → (A ∈ H → A ∈ ℋ ))
3	1	sseld 2070	. . . . 5 ⊢ (H ∈ Sℋ → (B ∈ H → B ∈ ℋ ))
4	2, 3	anim12d 560	. . . 4 ⊢ (H ∈ Sℋ → ((A ∈ H ⋀ B ∈ H) → (A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℋ )))
5	4	3impib 833	. . 3 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ A ∈ H ⋀ B ∈ H) → (A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℋ ))
6		hvsubvalt 8881	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℋ ) → (A −h B) = (A +h (-1 ·h B)))
7	5, 6	syl 10	. 2 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ A ∈ H ⋀ B ∈ H) → (A −h B) = (A +h (-1 ·h B)))
8		shaddclt 9080	. . 3 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ A ∈ H ⋀ (-1 ·h B) ∈ H) → (A +h (-1 ·h B)) ∈ H)
9		ax1cn 5281	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9	negcl 5381	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		shmulclt 9082	. . . . 5 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ -1 ∈ ℂ ⋀ B ∈ H) → (-1 ·h B) ∈ H)
12	10, 11	mp3an2 906	. . . 4 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ B ∈ H) → (-1 ·h B) ∈ H)
13	12	3adant2 800	. . 3 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ A ∈ H ⋀ B ∈ H) → (-1 ·h B) ∈ H)
14	8, 13	syld3an3 872	. 2 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ A ∈ H ⋀ B ∈ H) → (A +h (-1 ·h B)) ∈ H)
15	7, 14	eqeltrd 1551	1 ⊢ ((H ∈ Sℋ ⋀ A ∈ H ⋀ B ∈ H) → (A −h B) ∈ H)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  1c1 5247  -cneg 5305   ℋ chil 8783   +_h cva 8784   ·_h csm 8785   −_h cmv 8787   S_ℋ csh 8792

This theorem is referenced by:  hhssmetdval 9144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-sh 9071

Copyright terms: Public domain