Theorem siii 8509

Description: Inference from sii 8510.

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	⊢ X = (Base ‘U)
siii.6	⊢ N = (norm ‘U)
siii.7	⊢ P = ( ·i ‘U)
siii.9	⊢ U ∈ CPreHil
siii.a	⊢ A ∈ X
siii.b	⊢ B ∈ X

Assertion

Ref	Expression
siii	⊢ (abs ‘(APB)) ≤ ((N ‘A) · (N ‘B))

Proof of Theorem siii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . . 6 ⊢ (B = (0v ‘U) → (APB) = (AP(0v ‘U)))
2		siii.9	. . . . . . . 8 ⊢ U ∈ CPreHil
3	2	phnvi 8471	. . . . . . 7 ⊢ U ∈ NrmCVec
4		siii.a	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ X
5		siii.1	. . . . . . . 8 ⊢ X = (Base ‘U)
6		eqid 1478	. . . . . . . 8 ⊢ (0v ‘U) = (0v ‘U)
7		siii.7	. . . . . . . 8 ⊢ P = ( ·i ‘U)
8	5, 6, 7	ip0r 8366	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X) → (AP(0v ‘U)) = 0)
9	3, 4, 8	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (AP(0v ‘U)) = 0
10	1, 9	syl6eq 1526	. . . . 5 ⊢ (B = (0v ‘U) → (APB) = 0)
11	10	fveq2d 3734	. . . 4 ⊢ (B = (0v ‘U) → (abs ‘(APB)) = (abs ‘0))
12		abs0 6877	. . . 4 ⊢ (abs ‘0) = 0
13	11, 12	syl6eq 1526	. . 3 ⊢ (B = (0v ‘U) → (abs ‘(APB)) = 0)
14		siii.6	. . . . . 6 ⊢ N = (norm ‘U)
15	5, 14	nvge0 8298	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X) → 0 ≤ (N ‘A))
16	3, 4, 15	mp2an 699	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (N ‘A)
17		siii.b	. . . . 5 ⊢ B ∈ X
18	5, 14	nvge0 8298	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ B ∈ X) → 0 ≤ (N ‘B))
19	3, 17, 18	mp2an 699	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (N ‘B)
20	5, 14, 3, 4	nvcli 8284	. . . . 5 ⊢ (N ‘A) ∈ ℝ
21	5, 14, 3, 17	nvcli 8284	. . . . 5 ⊢ (N ‘B) ∈ ℝ
22	20, 21	mulge0 5619	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (N ‘A) ⋀ 0 ≤ (N ‘B)) → 0 ≤ ((N ‘A) · (N ‘B)))
23	16, 19, 22	mp2an 699	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((N ‘A) · (N ‘B))
24	13, 23	syl6eqbr 2657	. 2 ⊢ (B = (0v ‘U) → (abs ‘(APB)) ≤ ((N ‘A) · (N ‘B)))
25	21	recn 5326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (N ‘B) ∈ ℂ
26	25	sqeq0 6617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((N ‘B)↑2) = 0 ↔ (N ‘B) = 0)
27	5, 6, 14	nvz 8293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ B ∈ X) → ((N ‘B) = 0 ↔ B = (0v ‘U)))
28	3, 17, 27	mp2an 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((N ‘B) = 0 ↔ B = (0v ‘U))
29	26, 28	bitr 173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((N ‘B)↑2) = 0 ↔ B = (0v ‘U))
30	29	necon3bii 1601	. . . . . . . 8 ⊢ (((N ‘B)↑2) ≠ 0 ↔ B ≠ (0v ‘U))
31	5, 7	ipcl 8361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ B ∈ X ⋀ A ∈ X) → (BPA) ∈ ℂ)
32	3, 17, 4, 31	mp3an 918	. . . . . . . . 9 ⊢ (BPA) ∈ ℂ
33	21	resqcl 6624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((N ‘B)↑2) ∈ ℝ
34	33	recn 5326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((N ‘B)↑2) ∈ ℂ
35	32, 34	divcan1z 5730	. . . . . . . 8 ⊢ (((N ‘B)↑2) ≠ 0 → (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)) = (BPA))
36	30, 35	sylbir 201	. . . . . . 7 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)) = (BPA))
37	5, 7	ipcj 8363	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (∗ ‘(APB)) = (BPA))
38	3, 4, 17, 37	mp3an 918	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘(APB)) = (BPA)
39	36, 38	syl6eqr 1528	. . . . . 6 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)) = (∗ ‘(APB)))
40	39	opreq2d 3982	. . . . 5 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → ((APB) · (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2))) = ((APB) · (∗ ‘(APB))))
41	40	fveq2d 3734	. . . 4 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (√ ‘((APB) · (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)))) = (√ ‘((APB) · (∗ ‘(APB)))))
42	5, 7	ipcl 8361	. . . . . 6 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (APB) ∈ ℂ)
43	3, 4, 17, 42	mp3an 918	. . . . 5 ⊢ (APB) ∈ ℂ
44		absvalt 6763	. . . . 5 ⊢ ((APB) ∈ ℂ → (abs ‘(APB)) = (√ ‘((APB) · (∗ ‘(APB)))))
45	43, 44	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (abs ‘(APB)) = (√ ‘((APB) · (∗ ‘(APB))))
46	41, 45	syl6reqr 1529	. . 3 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (abs ‘(APB)) = (√ ‘((APB) · (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)))))
47	36	eqcomd 1483	. . . 4 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (BPA) = (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)))
48		eqid 1478	. . . . . 6 ⊢ ( −v ‘U) = ( −v ‘U)
49		eqid 1478	. . . . . 6 ⊢ ( ·s ‘U) = ( ·s ‘U)
50	5, 14, 7, 2, 4, 17, 48, 49	siilem2 8508	. . . . 5 ⊢ ((((BPA) / ((N ‘B)↑2)) ∈ ℂ ⋀ (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB)) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB))) → ((BPA) = (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)) → (√ ‘((APB) · (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)))) ≤ ((N ‘A) · (N ‘B))))
51	32, 34	divclz 5723	. . . . . 6 ⊢ (((N ‘B)↑2) ≠ 0 → ((BPA) / ((N ‘B)↑2)) ∈ ℂ)
52	30, 51	sylbir 201	. . . . 5 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → ((BPA) / ((N ‘B)↑2)) ∈ ℂ)
53	32, 43, 34	3pm3.2i 820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((BPA) ∈ ℂ ⋀ (APB) ∈ ℂ ⋀ ((N ‘B)↑2) ∈ ℂ)
54		div23t 5749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((BPA) ∈ ℂ ⋀ (APB) ∈ ℂ ⋀ ((N ‘B)↑2) ∈ ℂ) ⋀ ((N ‘B)↑2) ≠ 0) → (((BPA) · (APB)) / ((N ‘B)↑2)) = (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB)))
55	53, 54	mpan 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((N ‘B)↑2) ≠ 0 → (((BPA) · (APB)) / ((N ‘B)↑2)) = (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB)))
56	30, 55	sylbir 201	. . . . . . 7 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (((BPA) · (APB)) / ((N ‘B)↑2)) = (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB)))
57	32, 43	mulcom 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((BPA) · (APB)) = ((APB) · (BPA))
58	5, 7	ipipcj 8364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → ((APB) · (BPA)) = ((abs ‘(APB))↑2))
59	3, 4, 17, 58	mp3an 918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((APB) · (BPA)) = ((abs ‘(APB))↑2)
60	57, 59	eqtr 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((BPA) · (APB)) = ((abs ‘(APB))↑2)
61	60	opreq1i 3977	. . . . . . 7 ⊢ (((BPA) · (APB)) / ((N ‘B)↑2)) = (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2))
62	56, 61	syl5reqr 1525	. . . . . 6 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB)) = (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2)))
63	43	abscl 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ‘(APB)) ∈ ℝ
64	63	resqcl 6624	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ‘(APB))↑2) ∈ ℝ
65	64, 33	redivclz 5801	. . . . . . 7 ⊢ (((N ‘B)↑2) ≠ 0 → (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2)) ∈ ℝ)
66	30, 65	sylbir 201	. . . . . 6 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2)) ∈ ℝ)
67	62, 66	eqeltrd 1551	. . . . 5 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB)) ∈ ℝ)
68	28	necon3bii 1601	. . . . . . . 8 ⊢ ((N ‘B) ≠ 0 ↔ B ≠ (0v ‘U))
69	21	sqgt0 6628	. . . . . . . 8 ⊢ ((N ‘B) ≠ 0 → 0 < ((N ‘B)↑2))
70	68, 69	sylbir 201	. . . . . . 7 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → 0 < ((N ‘B)↑2))
71	63	sqge0 6629	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ ((abs ‘(APB))↑2)
72		divge0t 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((abs ‘(APB))↑2) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ ((abs ‘(APB))↑2)) ⋀ (((N ‘B)↑2) ∈ ℝ ⋀ 0 < ((N ‘B)↑2))) → 0 ≤ (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2)))
73	64, 71, 72	mpanl12 710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((N ‘B)↑2) ∈ ℝ ⋀ 0 < ((N ‘B)↑2)) → 0 ≤ (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2)))
74	33, 73	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ (0 < ((N ‘B)↑2) → 0 ≤ (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2)))
75	70, 74	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → 0 ≤ (((abs ‘(APB))↑2) / ((N ‘B)↑2)))
76	75, 62	breqtrrd 2646	. . . . 5 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → 0 ≤ (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · (APB)))
77	50, 52, 67, 76	syl3anc 860	. . . 4 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → ((BPA) = (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)) → (√ ‘((APB) · (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)))) ≤ ((N ‘A) · (N ‘B))))
78	47, 77	mpd 26	. . 3 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (√ ‘((APB) · (((BPA) / ((N ‘B)↑2)) · ((N ‘B)↑2)))) ≤ ((N ‘A) · (N ‘B)))
79	46, 78	eqbrtrd 2640	. 2 ⊢ (B ≠ (0v ‘U) → (abs ‘(APB)) ≤ ((N ‘A) · (N ‘B)))
80	24, 79	pm2.61ine 1637	1 ⊢ (abs ‘(APB)) ≤ ((N ‘A) · (N ‘B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   · cmul 5251   / cdiv 5306   ≤ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  ↑cexp 6569  √csqr 6670  ∗ccj 6750  abscabs 6751  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201   ·_s cns 8202  0_vcn0v 8203   −_v cnsb 8204  normcnm 8205   ·_i cip 8345  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  sii 8510  bcsHIL 9042

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468

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