Theorem sin01gt0 7477

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin01gt0	⊢ (A ∈ (0(,]1) → 0 < (sin ‘A))

Proof of Theorem sin01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5452	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2t 6391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ) → (A ∈ (0(,]1) ↔ (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A ⋀ A ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 699	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ (0(,]1) ↔ (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A ⋀ A ≤ 1))
5	4	biimp 151	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A ⋀ A ≤ 1))
6	5	3simp1d 796	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → A ∈ ℝ)
7		3nn 6002	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
8	7	nnnn0 6109	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		reexpclt 6581	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℕ0) → (A↑3) ∈ ℝ)
10	8, 9	mpan2 698	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (A↑3) ∈ ℝ)
11	6, 10	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A↑3) ∈ ℝ)
12		3re 5983	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	7	nnne0 5953	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
14		redivclt 5802	. . . . . 6 ⊢ (((A↑3) ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℝ ⋀ 3 ≠ 0) → ((A↑3) / 3) ∈ ℝ)
15	12, 13, 14	mp3an23 910	. . . . 5 ⊢ ((A↑3) ∈ ℝ → ((A↑3) / 3) ∈ ℝ)
16	11, 15	syl 10	. . . 4 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → ((A↑3) / 3) ∈ ℝ)
17		lt01 5692	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
18		3pos 5993	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
19		2pos 5991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
20		2re 5981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
21	1, 20, 2	ltadd1 5603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < 2 ↔ (0 + 1) < (2 + 1))
22	19, 21	mpbi 189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) < (2 + 1)
23		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	23	addid2 5343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
25		df-3 5973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
26	25	eqcomi 1482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
27	22, 24, 26	3brtr3 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
28		ltdiv2t 5889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℝ ⋀ (A↑3) ∈ ℝ) ⋀ (0 < 1 ⋀ 0 < 3 ⋀ 0 < (A↑3))) → (1 < 3 ↔ ((A↑3) / 3) < ((A↑3) / 1)))
29	27, 28	mpbii 193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℝ ⋀ (A↑3) ∈ ℝ) ⋀ (0 < 1 ⋀ 0 < 3 ⋀ 0 < (A↑3))) → ((A↑3) / 3) < ((A↑3) / 1))
30	29	expcom 374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 1 ⋀ 0 < 3 ⋀ 0 < (A↑3)) → ((1 ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℝ ⋀ (A↑3) ∈ ℝ) → ((A↑3) / 3) < ((A↑3) / 1)))
31	17, 18, 30	mp3an12 908	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (A↑3) → ((1 ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℝ ⋀ (A↑3) ∈ ℝ) → ((A↑3) / 3) < ((A↑3) / 1)))
32	31	com12 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℝ ⋀ (A↑3) ∈ ℝ) → (0 < (A↑3) → ((A↑3) / 3) < ((A↑3) / 1)))
33	2, 12, 32	mp3an12 908	. . . . . 6 ⊢ ((A↑3) ∈ ℝ → (0 < (A↑3) → ((A↑3) / 3) < ((A↑3) / 1)))
34		expgt0t 6590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 3 ∈ ℕ0 ⋀ 0 < A) → 0 < (A↑3))
35	8, 34	mp3an2 906	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 0 < A) → 0 < (A↑3))
36	35	3adant3 801	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 0 < A ⋀ A ≤ 1) → 0 < (A↑3))
37	4, 36	sylbi 199	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → 0 < (A↑3))
38	33, 11, 37	sylc 68	. . . . 5 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → ((A↑3) / 3) < ((A↑3) / 1))
39	11	recnd 5327	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A↑3) ∈ ℂ)
40		div1t 5774	. . . . . 6 ⊢ ((A↑3) ∈ ℂ → ((A↑3) / 1) = (A↑3))
41	39, 40	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → ((A↑3) / 1) = (A↑3))
42	38, 41	breqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → ((A↑3) / 3) < (A↑3))
43		1nn0 6116	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
44		expword2it 6606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℕ0 ⋀ 3 ∈ ℕ0) ⋀ (0 < A ⋀ A ≤ 1 ⋀ 1 < 3)) → (A↑3) ≤ (A↑1))
45	44	expcom 374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 < A ⋀ A ≤ 1 ⋀ 1 < 3) → ((A ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℕ0 ⋀ 3 ∈ ℕ0) → (A↑3) ≤ (A↑1)))
46	27, 45	mp3an3 907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < A ⋀ A ≤ 1) → ((A ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℕ0 ⋀ 3 ∈ ℕ0) → (A↑3) ≤ (A↑1)))
47	46	com12 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℕ0 ⋀ 3 ∈ ℕ0) → ((0 < A ⋀ A ≤ 1) → (A↑3) ≤ (A↑1)))
48	43, 8, 47	mp3an23 910	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((0 < A ⋀ A ≤ 1) → (A↑3) ≤ (A↑1)))
49	48	3impib 833	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 0 < A ⋀ A ≤ 1) → (A↑3) ≤ (A↑1))
50	4, 49	sylbi 199	. . . . 5 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A↑3) ≤ (A↑1))
51	6	recnd 5327	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → A ∈ ℂ)
52		exp1t 6574	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑1) = A)
53	51, 52	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A↑1) = A)
54	50, 53	breqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A↑3) ≤ A)
55	16, 11, 6, 42, 54	ltletrd 5540	. . 3 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → ((A↑3) / 3) < A)
56		posdift 5666	. . . 4 ⊢ ((((A↑3) / 3) ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ) → (((A↑3) / 3) < A ↔ 0 < (A − ((A↑3) / 3))))
57	56, 16, 6	sylanc 473	. . 3 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (((A↑3) / 3) < A ↔ 0 < (A − ((A↑3) / 3))))
58	55, 57	mpbid 195	. 2 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → 0 < (A − ((A↑3) / 3)))
59		sin01bnd 7473	. . 3 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → ((A − ((A↑3) / 3)) < (sin ‘A) ⋀ (sin ‘A) < A))
60	59	pm3.26d 321	. 2 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A − ((A↑3) / 3)) < (sin ‘A))
61		axlttrn 5516	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ (A − ((A↑3) / 3)) ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) ∈ ℝ) → ((0 < (A − ((A↑3) / 3)) ⋀ (A − ((A↑3) / 3)) < (sin ‘A)) → 0 < (sin ‘A)))
62	1, 61	mp3an1 905	. . 3 ⊢ (((A − ((A↑3) / 3)) ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) ∈ ℝ) → ((0 < (A − ((A↑3) / 3)) ⋀ (A − ((A↑3) / 3)) < (sin ‘A)) → 0 < (sin ‘A)))
63		resubclt 5450	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ ((A↑3) / 3) ∈ ℝ) → (A − ((A↑3) / 3)) ∈ ℝ)
64	63, 6, 16	sylanc 473	. . 3 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (A − ((A↑3) / 3)) ∈ ℝ)
65		resinclt 7438	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) ∈ ℝ)
66	6, 65	syl 10	. . 3 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → (sin ‘A) ∈ ℝ)
67	62, 64, 66	sylanc 473	. 2 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → ((0 < (A − ((A↑3) / 3)) ⋀ (A − ((A↑3) / 3)) < (sin ‘A)) → 0 < (sin ‘A)))
68	58, 60, 67	mp2and 705	1 ⊢ (A ∈ (0(,]1) → 0 < (sin ‘A))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   − cmin 5304   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℕ₀cn0 5309   < clt 5498  2c2 5963  3c3 5964  (,]cioc 6359  ↑cexp 6569  sincsin 7295

This theorem is referenced by:  sin02gt0 7479  sincos1sgn 7480  sincos4thpi 8705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioc 6363  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300

Copyright terms: Public domain