Theorem sin4lt0 7482

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	⊢ (sin ‘4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 6024	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	fveq2i 3733	. . 3 ⊢ (sin ‘(2 · 2)) = (sin ‘4)
3		2cn 5982	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		sin2tt 7462	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → (sin ‘(2 · 2)) = (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2))))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (sin ‘(2 · 2)) = (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2)))
6	2, 5	eqtr3 1500	. 2 ⊢ (sin ‘4) = (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2)))
7		sincos2sgn 7481	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin ‘2) ⋀ (cos ‘2) < 0)
8	7	pm3.27i 324	. . . . . 6 ⊢ (cos ‘2) < 0
9		2re 5981	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		recosclt 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos ‘2) ∈ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (cos ‘2) ∈ ℝ
12		0re 5452	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resinclt 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (sin ‘2) ∈ ℝ)
14	9, 13	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (sin ‘2) ∈ ℝ
15	7	pm3.26i 320	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (sin ‘2)
16		ltmul2t 5833	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cos ‘2) ∈ ℝ ⋀ 0 ∈ ℝ ⋀ (sin ‘2) ∈ ℝ) ⋀ 0 < (sin ‘2)) → ((cos ‘2) < 0 ↔ ((sin ‘2) · (cos ‘2)) < ((sin ‘2) · 0)))
17	15, 16	mpan2 698	. . . . . . 7 ⊢ (((cos ‘2) ∈ ℝ ⋀ 0 ∈ ℝ ⋀ (sin ‘2) ∈ ℝ) → ((cos ‘2) < 0 ↔ ((sin ‘2) · (cos ‘2)) < ((sin ‘2) · 0)))
18	11, 12, 14, 17	mp3an 918	. . . . . 6 ⊢ ((cos ‘2) < 0 ↔ ((sin ‘2) · (cos ‘2)) < ((sin ‘2) · 0))
19	8, 18	mpbi 189	. . . . 5 ⊢ ((sin ‘2) · (cos ‘2)) < ((sin ‘2) · 0)
20	14	recn 5326	. . . . . 6 ⊢ (sin ‘2) ∈ ℂ
21	20	mul01 5443	. . . . 5 ⊢ ((sin ‘2) · 0) = 0
22	19, 21	breqtr 2643	. . . 4 ⊢ ((sin ‘2) · (cos ‘2)) < 0
23	14, 11	remulcl 5347	. . . . 5 ⊢ ((sin ‘2) · (cos ‘2)) ∈ ℝ
24		2pos 5991	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
25		ltmul2t 5833	. . . . . 6 ⊢ (((((sin ‘2) · (cos ‘2)) ∈ ℝ ⋀ 0 ∈ ℝ ⋀ 2 ∈ ℝ) ⋀ 0 < 2) → (((sin ‘2) · (cos ‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2))) < (2 · 0)))
26	24, 25	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ ((((sin ‘2) · (cos ‘2)) ∈ ℝ ⋀ 0 ∈ ℝ ⋀ 2 ∈ ℝ) → (((sin ‘2) · (cos ‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2))) < (2 · 0)))
27	23, 12, 9, 26	mp3an 918	. . . 4 ⊢ (((sin ‘2) · (cos ‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2))) < (2 · 0))
28	22, 27	mpbi 189	. . 3 ⊢ (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2))) < (2 · 0)
29	3	mul01 5443	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
30	28, 29	breqtr 2643	. 2 ⊢ (2 · ((sin ‘2) · (cos ‘2))) < 0
31	6, 30	eqbrtr 2639	1 ⊢ (sin ‘4) < 0

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   · cmul 5251   < clt 5498  2c2 5963  4c4 5965  sincsin 7295  cosccos 7296

This theorem is referenced by:  pilem1 8666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioc 6363  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain