Theorem sinco 8662

Description: Sine expressed as a function composition. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinco.1	⊢ F = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = (i · x))}
sinco.2	⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = (-i · x))}
sinco.3	⊢ J = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = (x / (2 · i)))}
sinco.4	⊢ H = {⟨w, v⟩∣(w ∈ ℂ ⋀ v = (((exp ∘ F) ‘w) − ((exp ∘ G) ‘w)))}

Assertion

Ref	Expression
sinco	⊢ sin = (J ∘ H)

Distinct variable groups:   v,F,w   v,G,w   x,v,y,w

Proof of Theorem sinco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 7440	. . . 4 ⊢ sin:ℂ–→ℂ
2		ffn 3633	. . . 4 ⊢ (sin:ℂ–→ℂ → sin Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ sin Fn ℂ
4		sinco.1	. . . . 5 ⊢ F = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = (i · x))}
5		sinco.2	. . . . 5 ⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = (-i · x))}
6		sinco.3	. . . . 5 ⊢ J = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = (x / (2 · i)))}
7		sinco.4	. . . . 5 ⊢ H = {⟨w, v⟩∣(w ∈ ℂ ⋀ v = (((exp ∘ F) ‘w) − ((exp ∘ G) ‘w)))}
8		subclt 5379	. . . . 5 ⊢ ((((exp ∘ F) ‘z) ∈ ℂ ⋀ ((exp ∘ G) ‘z) ∈ ℂ) → (((exp ∘ F) ‘z) − ((exp ∘ G) ‘z)) ∈ ℂ)
9		2cn 5982	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		axicn 5282	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
11	9, 10	mulcl 5333	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
12		2ne0 5992	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
13		ine0 5446	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
14	9, 10, 12, 13	muln0 5711	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
15	4, 5, 6, 7, 8, 11, 14	sincolem 8660	. . . 4 ⊢ ((J ∘ H) Fn ℂ ⋀ (z ∈ ℂ → ((J ∘ H) ‘z) = (((exp ‘(i · z)) − (exp ‘(-i · z))) / (2 · i))))
16	15	pm3.26i 320	. . 3 ⊢ (J ∘ H) Fn ℂ
17		eqfnfv 3803	. . 3 ⊢ ((sin Fn ℂ ⋀ (J ∘ H) Fn ℂ) → (sin = (J ∘ H) ↔ (ℂ = ℂ ⋀ ∀z ∈ ℂ (sin ‘z) = ((J ∘ H) ‘z))))
18	3, 16, 17	mp2an 699	. 2 ⊢ (sin = (J ∘ H) ↔ (ℂ = ℂ ⋀ ∀z ∈ ℂ (sin ‘z) = ((J ∘ H) ‘z)))
19		eqid 1478	. 2 ⊢ ℂ = ℂ
20		sinvalt 7429	. . . 4 ⊢ (z ∈ ℂ → (sin ‘z) = (((exp ‘(i · z)) − (exp ‘(-i · z))) / (2 · i)))
21	15	pm3.27i 324	. . . 4 ⊢ (z ∈ ℂ → ((J ∘ H) ‘z) = (((exp ‘(i · z)) − (exp ‘(-i · z))) / (2 · i)))
22	20, 21	eqtr4d 1513	. . 3 ⊢ (z ∈ ℂ → (sin ‘z) = ((J ∘ H) ‘z))
23	22	rgen 1701	. 2 ⊢ ∀z ∈ ℂ (sin ‘z) = ((J ∘ H) ‘z)
24	18, 19, 23	mpbir2an 732	1 ⊢ sin = (J ∘ H)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  {copab 2671   ∘ ccom 3180   Fn wfn 3183  –→wf 3184   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ici 5248   · cmul 5251   − cmin 5304  -cneg 5305   / cdiv 5306  2c2 5963  expce 7293  sincsin 7295

This theorem is referenced by:  sincn 8664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300

Copyright terms: Public domain