Theorem sincos4thpi 8705

Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	⊢ ((sin ‘(π / 4)) = (1 / (√ ‘2)) ⋀ (cos ‘(π / 4)) = (1 / (√ ‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 5981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2ne0 5992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
3	1, 2	rereccl 5803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	recn 5326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		2halvest 6041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8		sincosq1eq 8704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (1 / 2) ∈ ℂ ⋀ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos ‘((1 / 2) · (π / 2))))
9	4, 4, 7, 8	mp3an 918	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos ‘((1 / 2) · (π / 2)))
10	9	opreq2i 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin ‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos ‘((1 / 2) · (π / 2))))
11	10	opreq2i 3978	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin ‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos ‘((1 / 2) · (π / 2)))))
12		2cn 5982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		pire 8672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recn 5326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
15	5, 12, 14, 12, 2, 2	divmuldiv 5788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
16	14	mulid2 5345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
17		2t2e4 6024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
18	16, 17	opreq12i 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
19	15, 18	eqtr 1498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
20	19	fveq2i 3733	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin ‘(π / 4))
21	20, 20	opreq12i 3979	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin ‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))
22	21	opreq2i 3978	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin ‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4))))
23	12, 2	recid 5740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
24	23	opreq1i 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
25	13, 1, 2	redivcl 5800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
26	25	recn 5326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
27	12, 4, 26	mulass 5337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
28	26	mulid2 5345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
29	24, 27, 28	3eqtr3 1506	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
30	29	fveq2i 3733	. . . . . . . 8 ⊢ (sin ‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin ‘(π / 2))
31	4, 26	mulcl 5333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
32		sin2tt 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin ‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos ‘((1 / 2) · (π / 2))))))
33	31, 32	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (sin ‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos ‘((1 / 2) · (π / 2)))))
34		sinhalfpi 8675	. . . . . . . 8 ⊢ (sin ‘(π / 2)) = 1
35	30, 33, 34	3eqtr3 1506	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin ‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos ‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
36	11, 22, 35	3eqtr3 1506	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) = 1
37	36	fveq2i 3733	. . . . 5 ⊢ (√ ‘(2 · ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4))))) = (√ ‘1)
38		4re 5984	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
39		4pos 5994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
40	38, 39	gt0ne0i 5629	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
41	13, 38, 40	redivcl 5800	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
42		resinclt 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (sin ‘(π / 4)) ∈ ℝ)
43	41, 42	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (sin ‘(π / 4)) ∈ ℝ
44	43, 43	remulcl 5347	. . . . . 6 ⊢ ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4))) ∈ ℝ
45		0re 5452	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
46		2pos 5991	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
47	45, 1, 46	ltlei 5593	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
48	43	msqge0 5626	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))
49	1, 44, 47, 48	sqrmuli 6705	. . . . 5 ⊢ (√ ‘(2 · ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4))))) = ((√ ‘2) · (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))))
50		sqr1 6717	. . . . 5 ⊢ (√ ‘1) = 1
51	37, 49, 50	3eqtr3r 1507	. . . 4 ⊢ 1 = ((√ ‘2) · (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))))
52		sqr2re 6731	. . . . . 6 ⊢ (√ ‘2) ∈ ℝ
53	52	recn 5326	. . . . 5 ⊢ (√ ‘2) ∈ ℂ
54		sqrclt 6711	. . . . . . 7 ⊢ ((((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4))) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ ((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) → (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
55	44, 48, 54	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ∈ ℝ
56	55	recn 5326	. . . . 5 ⊢ (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ∈ ℂ
57		sqr00t 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ 2) → ((√ ‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
58	1, 47, 57	mp2an 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((√ ‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
59	58	necon3bii 1601	. . . . . . 7 ⊢ ((√ ‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
60	2, 59	mpbir 190	. . . . . 6 ⊢ (√ ‘2) ≠ 0
61		divmul2t 5720	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℂ ⋀ (√ ‘2) ∈ ℂ ⋀ (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ∈ ℂ) ⋀ (√ ‘2) ≠ 0) → ((1 / (√ ‘2)) = (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√ ‘2) · (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))))))
62	60, 61	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ⋀ (√ ‘2) ∈ ℂ ⋀ (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ∈ ℂ) → ((1 / (√ ‘2)) = (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√ ‘2) · (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))))))
63	5, 53, 56, 62	mp3an 918	. . . 4 ⊢ ((1 / (√ ‘2)) = (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√ ‘2) · (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4))))))
64	51, 63	mpbir 190	. . 3 ⊢ (1 / (√ ‘2)) = (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4))))
65		pipos 8673	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
66	13, 38, 65, 39	divgt0i 5862	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 4)
67		1re 5447	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
68		pigt2lt4 8670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < π ⋀ π < 4)
69	68	pm3.27i 324	. . . . . . . . . 10 ⊢ π < 4
70	13, 38, 38, 39	ltdiv1i 5825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
71	69, 70	mpbi 189	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 4) < (4 / 4)
72	38	recn 5326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
73	72, 40	divid 5771	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 4) = 1
74	71, 73	breqtr 2643	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) < 1
75	41, 67, 74	ltlei 5593	. . . . . . 7 ⊢ (π / 4) ≤ 1
76		elioc2t 6391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ⋀ 0 < (π / 4) ⋀ (π / 4) ≤ 1)))
77	45, 67, 76	mp2an 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ⋀ 0 < (π / 4) ⋀ (π / 4) ≤ 1))
78	77	biimpr 152	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 4) ∈ ℝ ⋀ 0 < (π / 4) ⋀ (π / 4) ≤ 1) → (π / 4) ∈ (0(,]1))
79	41, 66, 75, 78	mp3an 918	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ (0(,]1)
80		sin01gt0 7477	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin ‘(π / 4)))
81	79, 80	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin ‘(π / 4))
82	45, 43, 81	ltlei 5593	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin ‘(π / 4))
83	43	sqrmsq 6710	. . . 4 ⊢ (0 ≤ (sin ‘(π / 4)) → (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) = (sin ‘(π / 4)))
84	82, 83	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (√ ‘((sin ‘(π / 4)) · (sin ‘(π / 4)))) = (sin ‘(π / 4))
85	64, 84	eqtr2 1499	. 2 ⊢ (sin ‘(π / 4)) = (1 / (√ ‘2))
86	19	fveq2i 3733	. . . 4 ⊢ (cos ‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos ‘(π / 4))
87	9, 20, 86	3eqtr3 1506	. . 3 ⊢ (sin ‘(π / 4)) = (cos ‘(π / 4))
88	64, 84, 87	3eqtrr 1503	. 2 ⊢ (cos ‘(π / 4)) = (1 / (√ ‘2))
89	85, 88	pm3.2i 285	1 ⊢ ((sin ‘(π / 4)) = (1 / (√ ‘2)) ⋀ (cos ‘(π / 4)) = (1 / (√ ‘2)))

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   / cdiv 5306   ≤ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  4c4 5965  (,]cioc 6359  √csqr 6670  sincsin 7295  cosccos 7296  πcpi 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

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