Theorem sincosq4sgn 8702

Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq4sgn	⊢ (A ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin ‘A) < 0 ⋀ 0 < (cos ‘A)))

Proof of Theorem sincosq4sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 5983	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		pire 8672	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
3		2re 5981	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		2ne0 5992	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
5	2, 3, 4	redivcl 5800	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
6	1, 5	remulcl 5347	. . 3 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
7	3, 2	remulcl 5347	. . 3 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
8		elioo2t 6380	. . . 4 ⊢ (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ⋀ (2 · π) ∈ ℝ*) → (A ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (A ∈ ℝ ⋀ (3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π))))
9		rexrt 5511	. . . 4 ⊢ ((3 · (π / 2)) ∈ ℝ → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*)
10		rexrt 5511	. . . 4 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ*)
11	8, 9, 10	syl2an 456	. . 3 ⊢ (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ ⋀ (2 · π) ∈ ℝ) → (A ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (A ∈ ℝ ⋀ (3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π))))
12	6, 7, 11	mp2an 699	. 2 ⊢ (A ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (A ∈ ℝ ⋀ (3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π)))
13		ltaddsubt 5643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ⋀ (π / 2) ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < A ↔ π < (A − (π / 2))))
14	2, 5, 13	mp3an12 908	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < A ↔ π < (A − (π / 2))))
15		df-3 5973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
16	15	opreq1i 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
17		2cn 5982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	5	recn 5326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20	17, 18, 19	adddir 5339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
21	2	recn 5326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
22	21, 17, 4	divcan2 5728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
23	19	mulid2 5345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
24	22, 23	opreq12i 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
25	16, 20, 24	3eqtrr 1503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
26	25	breq1i 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π + (π / 2)) < A ↔ (3 · (π / 2)) < A)
27	14, 26	syl5bbr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < A ↔ π < (A − (π / 2))))
28		ltsubaddt 5639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (π / 2) ∈ ℝ ⋀ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((A − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ A < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29	5, 6, 28	mp3an23 910	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ A < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
30		df-4 5974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
31	30	opreq1i 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
32	1	recn 5326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
33	32, 18, 19	adddir 5339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
34	23	opreq2i 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
35	31, 33, 34	3eqtrr 1503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
36		4re 5984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
37	36	recn 5326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		div12t 5751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((4 ∈ ℂ ⋀ π ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ) ⋀ 2 ≠ 0) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
39	4, 38	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ⋀ π ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
40	37, 21, 17, 39	mp3an 918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
41		4d2e2 6029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 / 2) = 2
42	41	opreq2i 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π · (4 / 2)) = (π · 2)
43	21, 17	mulcom 5335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π · 2) = (2 · π)
44	40, 42, 43	3eqtr 1502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (π / 2)) = (2 · π)
45	35, 44	eqtr 1498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
46	45	breq2i 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (A < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ A < (2 · π))
47	29, 46	syl6rbb 539	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (A < (2 · π) ↔ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
48	27, 47	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π)) ↔ (π < (A − (π / 2)) ⋀ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
49		elioo2t 6380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ* ⋀ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((A − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((A − (π / 2)) ∈ ℝ ⋀ π < (A − (π / 2)) ⋀ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
50		rexrt 5511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
51	49, 50, 9	syl2an 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ ⋀ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((A − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((A − (π / 2)) ∈ ℝ ⋀ π < (A − (π / 2)) ⋀ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
52	2, 6, 51	mp2an 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((A − (π / 2)) ∈ ℝ ⋀ π < (A − (π / 2)) ⋀ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53		sincosq3sgn 8701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0))
54	52, 53	sylbir 201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A − (π / 2)) ∈ ℝ ⋀ π < (A − (π / 2)) ⋀ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0))
55		resubclt 5450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (π / 2) ∈ ℝ) → (A − (π / 2)) ∈ ℝ)
56	5, 55	mpan2 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (A − (π / 2)) ∈ ℝ)
57	54, 56	syl3an1 861	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ π < (A − (π / 2)) ⋀ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0))
58	57	3expib 838	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((π < (A − (π / 2)) ⋀ (A − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0)))
59	48, 58	sylbid 203	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π)) → ((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0)))
60		resinclt 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((A − (π / 2)) ∈ ℝ → (sin ‘(A − (π / 2))) ∈ ℝ)
61		lt0neg1t 5680	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ‘(A − (π / 2))) ∈ ℝ → ((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin ‘(A − (π / 2)))))
62	56, 60, 61	3syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin ‘(A − (π / 2)))))
63	62	anbi1d 619	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (((sin ‘(A − (π / 2))) < 0 ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin ‘(A − (π / 2))) ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0)))
64	59, 63	sylibd 202	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π)) → (0 < -(sin ‘(A − (π / 2))) ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0)))
65		recnt 5325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
66		pncan3t 5389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → ((π / 2) + (A − (π / 2))) = A)
67	19, 66	mpan 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℂ → ((π / 2) + (A − (π / 2))) = A)
68	65, 67	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → ((π / 2) + (A − (π / 2))) = A)
69	68	fveq2d 3734	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (cos ‘((π / 2) + (A − (π / 2)))) = (cos ‘A))
70	56	recnd 5327	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (A − (π / 2)) ∈ ℂ)
71		coshalfpip 8696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos ‘((π / 2) + (A − (π / 2)))) = -(sin ‘(A − (π / 2))))
72	70, 71	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (cos ‘((π / 2) + (A − (π / 2)))) = -(sin ‘(A − (π / 2))))
73	69, 72	eqtr3d 1512	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (cos ‘A) = -(sin ‘(A − (π / 2))))
74	73	breq2d 2635	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 < (cos ‘A) ↔ 0 < -(sin ‘(A − (π / 2)))))
75	68	fveq2d 3734	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘((π / 2) + (A − (π / 2)))) = (sin ‘A))
76		sinhalfpip 8694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin ‘((π / 2) + (A − (π / 2)))) = (cos ‘(A − (π / 2))))
77	70, 76	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘((π / 2) + (A − (π / 2)))) = (cos ‘(A − (π / 2))))
78	75, 77	eqtr3d 1512	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) = (cos ‘(A − (π / 2))))
79	78	breq1d 2634	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → ((sin ‘A) < 0 ↔ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0))
80	74, 79	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → ((0 < (cos ‘A) ⋀ (sin ‘A) < 0) ↔ (0 < -(sin ‘(A − (π / 2))) ⋀ (cos ‘(A − (π / 2))) < 0)))
81	64, 80	sylibrd 204	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π)) → (0 < (cos ‘A) ⋀ (sin ‘A) < 0)))
82	81	3impib 833	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π)) → (0 < (cos ‘A) ⋀ (sin ‘A) < 0))
83		ancom 437	. . 3 ⊢ ((0 < (cos ‘A) ⋀ (sin ‘A) < 0) ↔ ((sin ‘A) < 0 ⋀ 0 < (cos ‘A)))
84	82, 83	sylib 198	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (3 · (π / 2)) < A ⋀ A < (2 · π)) → ((sin ‘A) < 0 ⋀ 0 < (cos ‘A)))
85	12, 84	sylbi 199	1 ⊢ (A ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin ‘A) < 0 ⋀ 0 < (cos ‘A)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304  -cneg 5305   / cdiv 5306  ℝ^*cxr 5497   < clt 5498  2c2 5963  3c3 5964  4c4 5965  (,)cioo 6358  sincsin 7295  cosccos 7296  πcpi 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

Copyright terms: Public domain