Theorem sineq0 8708

Description: A real number whose sine is zero is an integer multiple of π.

Assertion

Ref	Expression
sineq0	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → A = ((⌊ ‘(A / π)) · π))

Proof of Theorem sineq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnt 5325	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
2		pire 8672	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	recn 5326	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
4		pipos 8673	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
5	2, 4	gt0ne0i 5629	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
6		divcan1t 5732	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ π ∈ ℂ ⋀ π ≠ 0) → ((A / π) · π) = A)
7	3, 5, 6	mp3an23 910	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → ((A / π) · π) = A)
8	1, 7	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A / π) · π) = A)
9		redivclt 5802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ π ∈ ℝ ⋀ π ≠ 0) → (A / π) ∈ ℝ)
10	2, 5, 9	mp3an23 910	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (A / π) ∈ ℝ)
11		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊ ‘(A / π)) = (⌊ ‘(A / π))
12		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) = ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))
13	11, 12	intfrac 6254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A / π) ∈ ℝ → (0 ≤ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ⋀ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) < 1 ⋀ (A / π) = ((⌊ ‘(A / π)) + ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))))))
14	13	3simp3d 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((A / π) ∈ ℝ → (A / π) = ((⌊ ‘(A / π)) + ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))))
15	10, 14	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (A / π) = ((⌊ ‘(A / π)) + ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))))
16	15	opreq1d 3981	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A / π) · π) = (((⌊ ‘(A / π)) + ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))) · π))
17		adddirt 5331	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊ ‘(A / π)) ∈ ℂ ⋀ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℂ ⋀ π ∈ ℂ) → (((⌊ ‘(A / π)) + ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))) · π) = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
18	3, 17	mp3an3 907	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊ ‘(A / π)) ∈ ℂ ⋀ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℂ) → (((⌊ ‘(A / π)) + ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))) · π) = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
19		flreclt 6229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A / π) ∈ ℝ → (⌊ ‘(A / π)) ∈ ℝ)
20	10, 19	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (⌊ ‘(A / π)) ∈ ℝ)
21	20	recnd 5327	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (⌊ ‘(A / π)) ∈ ℂ)
22		resubclt 5450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A / π) ∈ ℝ ⋀ (⌊ ‘(A / π)) ∈ ℝ) → ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ)
23	22, 10, 20	sylanc 473	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ)
24	23	recnd 5327	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℂ)
25	18, 21, 24	sylanc 473	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (((⌊ ‘(A / π)) + ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))) · π) = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
26	16, 25	eqtrd 1510	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A / π) · π) = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
27	8, 26	eqtr3d 1512	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → A = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
28	27	adantr 391	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → A = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
29		addcomt 5317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⌊ ‘(A / π)) · π) ∈ ℂ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℂ) → (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) + ((⌊ ‘(A / π)) · π)))
30		remulclt 5316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⌊ ‘(A / π)) ∈ ℝ ⋀ π ∈ ℝ) → ((⌊ ‘(A / π)) · π) ∈ ℝ)
31	2, 30	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊ ‘(A / π)) ∈ ℝ → ((⌊ ‘(A / π)) · π) ∈ ℝ)
32	20, 31	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℝ → ((⌊ ‘(A / π)) · π) ∈ ℝ)
33	32	recnd 5327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℝ → ((⌊ ‘(A / π)) · π) ∈ ℂ)
34		remulclt 5316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ ⋀ π ∈ ℝ) → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ)
35	2, 34	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ)
36	23, 35	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ)
37	36	recnd 5327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℂ)
38	29, 33, 37	sylanc 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℝ → (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) + ((⌊ ‘(A / π)) · π)))
39	27, 38	eqtrd 1510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℝ → A = ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) + ((⌊ ‘(A / π)) · π)))
40	39	fveq2d 3734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) = (sin ‘((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) + ((⌊ ‘(A / π)) · π))))
41	40	fveq2d 3734	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (abs ‘(sin ‘A)) = (abs ‘(sin ‘((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) + ((⌊ ‘(A / π)) · π)))))
42		abssinper 8707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℂ ⋀ (⌊ ‘(A / π)) ∈ ℤ) → (abs ‘(sin ‘((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) + ((⌊ ‘(A / π)) · π)))) = (abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))))
43		flclt 6228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A / π) ∈ ℝ → (⌊ ‘(A / π)) ∈ ℤ)
44	10, 43	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℝ → (⌊ ‘(A / π)) ∈ ℤ)
45	42, 37, 44	sylanc 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (abs ‘(sin ‘((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) + ((⌊ ‘(A / π)) · π)))) = (abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))))
46	41, 45	eqtr2d 1511	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))) = (abs ‘(sin ‘A)))
47	46	adantr 391	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → (abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))) = (abs ‘(sin ‘A)))
48		resinclt 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) ∈ ℝ)
49	48	recnd 5327	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘A) ∈ ℂ)
50		abs00t 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin ‘A) ∈ ℂ → ((abs ‘(sin ‘A)) = 0 ↔ (sin ‘A) = 0))
51	49, 50	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → ((abs ‘(sin ‘A)) = 0 ↔ (sin ‘A) = 0))
52	51	biimpar 419	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → (abs ‘(sin ‘A)) = 0)
53	47, 52	eqtrd 1510	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → (abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))) = 0)
54		resinclt 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ∈ ℝ)
55	36, 54	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ∈ ℝ)
56	55	recnd 5327	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ∈ ℂ)
57		abs00t 6853	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ∈ ℂ → ((abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))) = 0 ↔ (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = 0))
58	56, 57	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))) = 0 ↔ (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = 0))
59	58	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → ((abs ‘(sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))) = 0 ↔ (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = 0))
60	53, 59	mpbid 195	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = 0)
61		gt0ne0t 5630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ∈ ℝ ⋀ 0 < (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))) → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ≠ 0)
62	55	adantr 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ∈ ℝ)
63		ne0gt0t 5631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) → ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0 ↔ 0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
64		0re 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
65	64, 2, 4	ltlei 5593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ π
66		mulge0t 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ ⋀ π ∈ ℝ) ⋀ (0 ≤ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ⋀ 0 ≤ π)) → 0 ≤ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))
67	65, 66	mpanr2 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ ⋀ π ∈ ℝ) ⋀ 0 ≤ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))) → 0 ≤ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))
68	2, 67	mpanl2 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π)))) → 0 ≤ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))
69		fracge0t 6234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A / π) ∈ ℝ → 0 ≤ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))))
70	10, 69	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ ℝ → 0 ≤ ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))))
71	68, 23, 70	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℝ → 0 ≤ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))
72	63, 36, 71	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℝ → ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0 ↔ 0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
73	72	biimpa 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → 0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π))
74		fraclt1t 6233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A / π) ∈ ℝ → ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) < 1)
75	10, 74	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) < 1)
76		1re 5447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
77		ltmul1t 5832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ ⋀ π ∈ ℝ) ⋀ 0 < π) → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) < 1 ↔ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < (1 · π)))
78	4, 77	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ ⋀ π ∈ ℝ) → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) < 1 ↔ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < (1 · π)))
79	76, 2, 78	mp3an23 910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) < 1 ↔ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < (1 · π)))
80	23, 79	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) < 1 ↔ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < (1 · π)))
81	75, 80	mpbid 195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < (1 · π))
82	3	mulid2 5345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · π) = π
83	81, 82	syl6breq 2659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < π)
84	83	adantr 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < π)
85	73, 84	jca 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → (0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < π))
86		rexrt 5511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ*)
87	36, 86	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℝ → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ*)
88		rexrt 5511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
89	64, 88	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
90		rexrt 5511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
91	2, 90	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ*
92		elioo5t 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ⋀ π ∈ ℝ* ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ*) → ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ (0(,)π) ↔ (0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < π)))
93	89, 91, 92	mp3an12 908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ ℝ* → ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ (0(,)π) ↔ (0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < π)))
94	87, 93	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℝ → ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ (0(,)π) ↔ (0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < π)))
95	94	adantr 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ (0(,)π) ↔ (0 < (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) < π)))
96	85, 95	mpbird 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ (0(,)π))
97		sinq12gt0t 8703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
98	96, 97	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → 0 < (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)))
99	61, 62, 98	sylanc 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0) → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ≠ 0)
100	99	ex 373	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) ≠ 0 → (sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) ≠ 0))
101	100	necon4d 1631	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → ((sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = 0 → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) = 0))
102	101	adantr 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → ((sin ‘(((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = 0 → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) = 0))
103	60, 102	mpd 26	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π) = 0)
104	103	opreq2d 3982	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → (((⌊ ‘(A / π)) · π) + (((A / π) − (⌊ ‘(A / π))) · π)) = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + 0))
105	28, 104	eqtrd 1510	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → A = (((⌊ ‘(A / π)) · π) + 0))
106		addid1t 5322	. . . 4 ⊢ (((⌊ ‘(A / π)) · π) ∈ ℂ → (((⌊ ‘(A / π)) · π) + 0) = ((⌊ ‘(A / π)) · π))
107	33, 106	syl 10	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → (((⌊ ‘(A / π)) · π) + 0) = ((⌊ ‘(A / π)) · π))
108	107	adantr 391	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → (((⌊ ‘(A / π)) · π) + 0) = ((⌊ ‘(A / π)) · π))
109	105, 108	eqtrd 1510	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (sin ‘A) = 0) → A = ((⌊ ‘(A / π)) · π))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℤcz 5310  ℝ^*cxr 5497   < clt 5498  ⌊cfl 6225  (,)cioo 6358  abscabs 6751  sincsin 7295  πcpi 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

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