Theorem sinhalfpilem 8674

Description: Lemma for sinhalfpi 8675 and coshalfpi 8676.

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin ‘(π / 2)) = 1 ⋀ (cos ‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt01 5692	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 5452	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 5447	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsym 5589	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
6		lt0neg1t 5680	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbi 191	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -1
9		pire 8672	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
10		2re 5981	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2ne0 5992	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	9, 10, 11	redivcl 5800	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13		pipos 8673	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
14		2pos 5991	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
15	9, 10, 13, 14	divgt0i 5862	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 2)
16		4re 5984	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		pigt2lt4 8670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < π ⋀ π < 4)
18	17	pm3.27i 324	. . . . . . . . 9 ⊢ π < 4
19	9, 16, 18	ltlei 5593	. . . . . . . 8 ⊢ π ≤ 4
20		ledivmultOLD 5871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π ∈ ℝ ⋀ 2 ∈ ℝ ⋀ 2 ∈ ℝ) ⋀ 0 < 2) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
21	14, 20	mpan2 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ⋀ 2 ∈ ℝ ⋀ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
22	9, 10, 10, 21	mp3an 918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
23		2t2e4 6024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
24	23	breq2i 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
25	22, 24	bitr2 174	. . . . . . . 8 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
26	19, 25	mpbi 189	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ 2
27		elioc2t 6391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ⋀ 0 < (π / 2) ⋀ (π / 2) ≤ 2)))
28	2, 10, 27	mp2an 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ⋀ 0 < (π / 2) ⋀ (π / 2) ≤ 2))
29	28	biimpr 152	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ⋀ 0 < (π / 2) ⋀ (π / 2) ≤ 2) → (π / 2) ∈ (0(,]2))
30	12, 15, 26, 29	mp3an 918	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
31		sin02gt0 7479	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin ‘(π / 2)))
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin ‘(π / 2))
33		breq2 2628	. . . . 5 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin ‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
34	32, 33	mpbii 193	. . . 4 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
35	8, 34	mto 106	. . 3 ⊢ ¬ (sin ‘(π / 2)) = -1
36		resinclt 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin ‘(π / 2)) ∈ ℝ)
37	12, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin ‘(π / 2)) ∈ ℝ
38	37, 32	gt0ne0i 5629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin ‘(π / 2)) ≠ 0
39		df-ne 1590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) ≠ 0 ↔ ¬ (sin ‘(π / 2)) = 0)
40	38, 39	mpbi 189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (sin ‘(π / 2)) = 0
41		df-ne 1590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≠ 0 ↔ ¬ 2 = 0)
42	11, 41	mpbi 189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 = 0
43	9	recn 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℂ
44		2cn 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
45	43, 44, 11	divcan2 5728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
46	45	fveq2i 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (sin ‘(2 · (π / 2))) = (sin ‘π)
47	12	recn 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
48		sin2tt 7462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin ‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2)))))
49	47, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (sin ‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2))))
50		sinpi 8671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (sin ‘π) = 0
51	46, 49, 50	3eqtr3 1506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2)))) = 0
52		sinclt 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin ‘(π / 2)) ∈ ℂ)
53	47, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (sin ‘(π / 2)) ∈ ℂ
54		cosclt 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos ‘(π / 2)) ∈ ℂ)
55	47, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (cos ‘(π / 2)) ∈ ℂ
56	53, 55	mulcl 5333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2))) ∈ ℂ
57	44, 56	mul0or 5706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ⋁ ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 = 0 ⋁ ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2))) = 0)
59	58	ori 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 2 = 0 → ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2))) = 0)
60	42, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2))) = 0
61	53, 55	mul0or 5706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin ‘(π / 2)) · (cos ‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin ‘(π / 2)) = 0 ⋁ (cos ‘(π / 2)) = 0))
62	60, 61	mpbi 189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) = 0 ⋁ (cos ‘(π / 2)) = 0)
63	62	ori 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (sin ‘(π / 2)) = 0 → (cos ‘(π / 2)) = 0)
64	40, 63	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos ‘(π / 2)) = 0
65	64	opreq1i 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos ‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
66		sq0 6636	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑2) = 0
67	65, 66	eqtr 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos ‘(π / 2))↑2) = 0
68	67	opreq2i 3978	. . . . . . 7 ⊢ (((sin ‘(π / 2))↑2) + ((cos ‘(π / 2))↑2)) = (((sin ‘(π / 2))↑2) + 0)
69		sincossqt 7461	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin ‘(π / 2))↑2) + ((cos ‘(π / 2))↑2)) = 1)
70	47, 69	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (((sin ‘(π / 2))↑2) + ((cos ‘(π / 2))↑2)) = 1
71	53	sqcl 6616	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
72	71	addid1 5342	. . . . . . 7 ⊢ (((sin ‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin ‘(π / 2))↑2)
73	68, 70, 72	3eqtr3r 1507	. . . . . 6 ⊢ ((sin ‘(π / 2))↑2) = 1
74		sq1 6638	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
75	73, 74	eqtr4 1501	. . . . 5 ⊢ ((sin ‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
76		ax1cn 5281	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
77	53, 76	sqeqor 6648	. . . . 5 ⊢ (((sin ‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin ‘(π / 2)) = 1 ⋁ (sin ‘(π / 2)) = -1))
78	75, 77	mpbi 189	. . . 4 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) = 1 ⋁ (sin ‘(π / 2)) = -1)
79	78	ori 230	. . 3 ⊢ (¬ (sin ‘(π / 2)) = 1 → (sin ‘(π / 2)) = -1)
80	35, 79	mt3 112	. 2 ⊢ (sin ‘(π / 2)) = 1
81	80, 64	pm3.2i 285	1 ⊢ ((sin ‘(π / 2)) = 1 ⋀ (cos ‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 2   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251  -cneg 5305   / cdiv 5306   ≤ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  4c4 5965  (,]cioc 6359  ↑cexp 6569  sincsin 7295  cosccos 7296  πcpi 7297

This theorem is referenced by:  sinhalfpi 8675  coshalfpi 8676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

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