Theorem sinperlem2 8682

Description: Lemma for sin2kpi 8683 and cos2kpi 8684.

Assertion

Ref	Expression
sinperlem2	⊢ (K ∈ ℤ → ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0))

Proof of Theorem sinperlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 6151	. . . . 5 ⊢ (K ∈ ℤ ↔ (K ∈ ℝ ⋀ (K ∈ ℕ0 ⋁ -K ∈ ℕ0)))
2	1	pm3.27bi 326	. . . 4 ⊢ (K ∈ ℤ → (K ∈ ℕ0 ⋁ -K ∈ ℕ0))
3		sinperlem1 8681	. . . . 5 ⊢ (K ∈ ℕ0 → ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0))
4		sinperlem1 8681	. . . . 5 ⊢ (-K ∈ ℕ0 → ((cos ‘(-K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(-K · (2 · π))) = 0))
5	3, 4	orim12i 336	. . . 4 ⊢ ((K ∈ ℕ0 ⋁ -K ∈ ℕ0) → (((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0) ⋁ ((cos ‘(-K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(-K · (2 · π))) = 0)))
6	2, 5	syl 10	. . 3 ⊢ (K ∈ ℤ → (((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0) ⋁ ((cos ‘(-K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(-K · (2 · π))) = 0)))
7		mulneg1t 5463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ (2 · π) ∈ ℂ) → (-K · (2 · π)) = -(K · (2 · π)))
8		zcnt 6142	. . . . . . . . 9 ⊢ (K ∈ ℤ → K ∈ ℂ)
9		2cn 5982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		pire 8672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	recn 5326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
12	9, 11	mulcl 5333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13	12	a1i 8	. . . . . . . . 9 ⊢ (K ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
14	7, 8, 13	sylanc 473	. . . . . . . 8 ⊢ (K ∈ ℤ → (-K · (2 · π)) = -(K · (2 · π)))
15	14	fveq2d 3734	. . . . . . 7 ⊢ (K ∈ ℤ → (cos ‘(-K · (2 · π))) = (cos ‘-(K · (2 · π))))
16	15	eqeq1d 1486	. . . . . 6 ⊢ (K ∈ ℤ → ((cos ‘(-K · (2 · π))) = 1 ↔ (cos ‘-(K · (2 · π))) = 1))
17		axmulcl 5285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ (2 · π) ∈ ℂ) → (K · (2 · π)) ∈ ℂ)
18	17, 8, 13	sylanc 473	. . . . . . . 8 ⊢ (K ∈ ℤ → (K · (2 · π)) ∈ ℂ)
19		cosnegt 7443	. . . . . . . 8 ⊢ ((K · (2 · π)) ∈ ℂ → (cos ‘-(K · (2 · π))) = (cos ‘(K · (2 · π))))
20	18, 19	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (K ∈ ℤ → (cos ‘-(K · (2 · π))) = (cos ‘(K · (2 · π))))
21	20	eqeq1d 1486	. . . . . 6 ⊢ (K ∈ ℤ → ((cos ‘-(K · (2 · π))) = 1 ↔ (cos ‘(K · (2 · π))) = 1))
22	16, 21	bitr2d 531	. . . . 5 ⊢ (K ∈ ℤ → ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ↔ (cos ‘(-K · (2 · π))) = 1))
23		sinnegt 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((K · (2 · π)) ∈ ℂ → (sin ‘-(K · (2 · π))) = -(sin ‘(K · (2 · π))))
24	18, 23	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (K ∈ ℤ → (sin ‘-(K · (2 · π))) = -(sin ‘(K · (2 · π))))
25	24	eqeq1d 1486	. . . . . 6 ⊢ (K ∈ ℤ → ((sin ‘-(K · (2 · π))) = 0 ↔ -(sin ‘(K · (2 · π))) = 0))
26	14	fveq2d 3734	. . . . . . 7 ⊢ (K ∈ ℤ → (sin ‘(-K · (2 · π))) = (sin ‘-(K · (2 · π))))
27	26	eqeq1d 1486	. . . . . 6 ⊢ (K ∈ ℤ → ((sin ‘(-K · (2 · π))) = 0 ↔ (sin ‘-(K · (2 · π))) = 0))
28		sinclt 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((K · (2 · π)) ∈ ℂ → (sin ‘(K · (2 · π))) ∈ ℂ)
29		negeq0t 5808	. . . . . . 7 ⊢ ((sin ‘(K · (2 · π))) ∈ ℂ → ((sin ‘(K · (2 · π))) = 0 ↔ -(sin ‘(K · (2 · π))) = 0))
30	18, 28, 29	3syl 20	. . . . . 6 ⊢ (K ∈ ℤ → ((sin ‘(K · (2 · π))) = 0 ↔ -(sin ‘(K · (2 · π))) = 0))
31	25, 27, 30	3bitr4rd 553	. . . . 5 ⊢ (K ∈ ℤ → ((sin ‘(K · (2 · π))) = 0 ↔ (sin ‘(-K · (2 · π))) = 0))
32	22, 31	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (K ∈ ℤ → (((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0) ↔ ((cos ‘(-K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(-K · (2 · π))) = 0)))
33	32	orbi2d 616	. . 3 ⊢ (K ∈ ℤ → ((((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0) ⋁ ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0)) ↔ (((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0) ⋁ ((cos ‘(-K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(-K · (2 · π))) = 0))))
34	6, 33	mpbird 196	. 2 ⊢ (K ∈ ℤ → (((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0) ⋁ ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0)))
35		oridm 243	. 2 ⊢ ((((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0) ⋁ ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0)) ↔ ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0))
36	34, 35	sylib 198	1 ⊢ (K ∈ ℤ → ((cos ‘(K · (2 · π))) = 1 ⋀ (sin ‘(K · (2 · π))) = 0))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   · cmul 5251  -cneg 5305  ℕ₀cn0 5309  ℤcz 5310  2c2 5963  sincsin 7295  cosccos 7296  πcpi 7297

This theorem is referenced by:  sin2kpi 8683  cos2kpi 8684

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

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