Theorem sinvalt 7429

Description: Value of the sine function.

Assertion

Ref	Expression
sinvalt	⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘A) = (((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) / (2 · i)))

Proof of Theorem sinvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (x = A → (i · x) = (i · A))
2	1	fveq2d 3734	. . . 4 ⊢ (x = A → (exp ‘(i · x)) = (exp ‘(i · A)))
3		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (x = A → (-i · x) = (-i · A))
4	3	fveq2d 3734	. . . 4 ⊢ (x = A → (exp ‘(-i · x)) = (exp ‘(-i · A)))
5	2, 4	opreq12d 3984	. . 3 ⊢ (x = A → ((exp ‘(i · x)) − (exp ‘(-i · x))) = ((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))))
6	5	opreq1d 3981	. 2 ⊢ (x = A → (((exp ‘(i · x)) − (exp ‘(-i · x))) / (2 · i)) = (((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) / (2 · i)))
7		df-sin 7300	. 2 ⊢ sin = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = (((exp ‘(i · x)) − (exp ‘(-i · x))) / (2 · i)))}
8		oprex 3989	. 2 ⊢ (((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) / (2 · i)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvopab4 3786	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘A) = (((exp ‘(i · A)) − (exp ‘(-i · A))) / (2 · i)))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ici 5248   · cmul 5251   − cmin 5304  -cneg 5305   / cdiv 5306  2c2 5963  expce 7293  sincsin 7295

This theorem is referenced by:  sinclt 7431  resinvalt 7433  sinnegt 7442  efivalt 7447  sinadd 7451  sinco 8662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-sin 7300

Copyright terms: Public domain