Theorem spansncol 9486

Description: The singletons of collinear vectors have the same span.

Assertion

Ref	Expression
spansncol	⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (span ‘{(B ·h A)}) = (span ‘{A}))

Proof of Theorem spansncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulass 8872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) → ((y · B) ·h A) = (y ·h (B ·h A)))
2	1	3com13 840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((y · B) ·h A) = (y ·h (B ·h A)))
3	2	3expa 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → ((y · B) ·h A) = (y ·h (B ·h A)))
4	3	eqeq2d 1489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (x = ((y · B) ·h A) ↔ x = (y ·h (B ·h A))))
5	4	biimprd 154	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (x = (y ·h (B ·h A)) → x = ((y · B) ·h A)))
6		axmulcl 5285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (y · B) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (y · B) ∈ ℂ)
8	7	adantll 394	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (y · B) ∈ ℂ)
9	5, 8	jctild 603	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (x = (y ·h (B ·h A)) → ((y · B) ∈ ℂ ⋀ x = ((y · B) ·h A))))
10		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = (y · B) → (z ·h A) = ((y · B) ·h A))
11	10	eqeq2d 1489	. . . . . . . 8 ⊢ (z = (y · B) → (x = (z ·h A) ↔ x = ((y · B) ·h A)))
12	11	rcla4ev 1880	. . . . . . 7 ⊢ (((y · B) ∈ ℂ ⋀ x = ((y · B) ·h A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·h A))
13	9, 12	syl6 22	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (x = (y ·h (B ·h A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·h A)))
14	13	r19.23adva 1750	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) → (∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·h A)))
15	14	3adant3 801	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·h A)))
16		ax-hvmulass 8872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z / B) ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) → (((z / B) · B) ·h A) = ((z / B) ·h (B ·h A)))
17		divclt 5724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (z / B) ∈ ℂ)
18	17	3expb 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (z / B) ∈ ℂ)
19	18	adantlr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (z / B) ∈ ℂ)
20		simprl 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → B ∈ ℂ)
21		simplr 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → A ∈ ℋ )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (((z / B) · B) ·h A) = ((z / B) ·h (B ·h A)))
23		divcan1t 5732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → ((z / B) · B) = z)
24	23	3exp 834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ ℂ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → ((z / B) · B) = z)))
25	24	imp32 363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → ((z / B) · B) = z)
26	25	adantlr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → ((z / B) · B) = z)
27	26	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (((z / B) · B) ·h A) = (z ·h A))
28	22, 27	eqtr3d 1512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → ((z / B) ·h (B ·h A)) = (z ·h A))
29	28	eqeq2d 1489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (x = ((z / B) ·h (B ·h A)) ↔ x = (z ·h A)))
30	29	biimprd 154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (x = (z ·h A) → x = ((z / B) ·h (B ·h A))))
31	30, 19	jctild 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (x = (z ·h A) → ((z / B) ∈ ℂ ⋀ x = ((z / B) ·h (B ·h A)))))
32		opreq1 3974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (z / B) → (y ·h (B ·h A)) = ((z / B) ·h (B ·h A)))
33	32	eqeq2d 1489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (z / B) → (x = (y ·h (B ·h A)) ↔ x = ((z / B) ·h (B ·h A))))
34	33	rcla4ev 1880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z / B) ∈ ℂ ⋀ x = ((z / B) ·h (B ·h A))) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A)))
35	31, 34	syl6 22	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (x = (z ·h A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A))))
36	35	exp43 386	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ℂ → (A ∈ ℋ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → (x = (z ·h A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A)))))))
37	36	com4l 39	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℋ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → (z ∈ ℂ → (x = (z ·h A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A)))))))
38	37	3imp 829	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (z ∈ ℂ → (x = (z ·h A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A)))))
39	38	r19.23adv 1749	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (∃z ∈ ℂ x = (z ·h A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A))))
40	15, 39	impbid 518	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A)) ↔ ∃z ∈ ℂ x = (z ·h A)))
41		hvmulclt 8878	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℋ ) → (B ·h A) ∈ ℋ )
42	41	ancoms 438	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) → (B ·h A) ∈ ℋ )
43		elspansnt 9484	. . . . 5 ⊢ ((B ·h A) ∈ ℋ → (x ∈ (span ‘{(B ·h A)}) ↔ ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A))))
44	42, 43	syl 10	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ) → (x ∈ (span ‘{(B ·h A)}) ↔ ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A))))
45	44	3adant3 801	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (x ∈ (span ‘{(B ·h A)}) ↔ ∃y ∈ ℂ x = (y ·h (B ·h A))))
46		elspansnt 9484	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℋ → (x ∈ (span ‘{A}) ↔ ∃z ∈ ℂ x = (z ·h A)))
47	46	3ad2ant1 802	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (x ∈ (span ‘{A}) ↔ ∃z ∈ ℂ x = (z ·h A)))
48	40, 45, 47	3bitr4d 552	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (x ∈ (span ‘{(B ·h A)}) ↔ x ∈ (span ‘{A})))
49	48	eqrdv 1476	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (span ‘{(B ·h A)}) = (span ‘{A}))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∃wrex 1649  {csn 2413   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246   · cmul 5251   / cdiv 5306   ℋ chil 8783   ·_h csm 8785  spancspn 8796

This theorem is referenced by:  spansneleq 9488  superpos 10276

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-span 9269

Copyright terms: Public domain