Theorem spanun 9462

Description: The span of a union is the subspace sum of spans.

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	⊢ A ⊆ ℋ
spanun.2	⊢ B ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanun	⊢ (span ‘(A ∪ B)) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘B))

Proof of Theorem spanun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 ⊢ A ⊆ ℋ
2		spanclt 9299	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℋ → (span ‘A) ∈ Sℋ )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (span ‘A) ∈ Sℋ
4		spanun.2	. . . . . . 7 ⊢ B ⊆ ℋ
5		spanclt 9299	. . . . . . 7 ⊢ (B ⊆ ℋ → (span ‘B) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (span ‘B) ∈ Sℋ
7	3, 6	shscl 9276	. . . . 5 ⊢ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) ∈ Sℋ
8	7	shssi 9076	. . . 4 ⊢ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) ⊆ ℋ
9		spanss2 9309	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℋ → A ⊆ (span ‘A))
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ A ⊆ (span ‘A)
11		spanss2 9309	. . . . . . 7 ⊢ (B ⊆ ℋ → B ⊆ (span ‘B))
12	4, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ B ⊆ (span ‘B)
13		unss12 2205	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ (span ‘A) ⋀ B ⊆ (span ‘B)) → (A ∪ B) ⊆ ((span ‘A) ∪ (span ‘B)))
14	10, 12, 13	mp2an 699	. . . . 5 ⊢ (A ∪ B) ⊆ ((span ‘A) ∪ (span ‘B))
15	3, 6	shunss 9332	. . . . 5 ⊢ ((span ‘A) ∪ (span ‘B)) ⊆ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B))
16	14, 15	sstri 2076	. . . 4 ⊢ (A ∪ B) ⊆ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B))
17		spanss 9313	. . . 4 ⊢ ((((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) ⊆ ℋ ⋀ (A ∪ B) ⊆ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B))) → (span ‘(A ∪ B)) ⊆ (span ‘((span ‘A) +ℋ (span ‘B))))
18	8, 16, 17	mp2an 699	. . 3 ⊢ (span ‘(A ∪ B)) ⊆ (span ‘((span ‘A) +ℋ (span ‘B)))
19		spanid 9312	. . . 4 ⊢ (((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) ∈ Sℋ → (span ‘((span ‘A) +ℋ (span ‘B))) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘B)))
20	7, 19	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (span ‘((span ‘A) +ℋ (span ‘B))) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘B))
21	18, 20	sseqtr 2096	. 2 ⊢ (span ‘(A ∪ B)) ⊆ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B))
22	3, 6	shsel 9275	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) ↔ ∃z ∈ (span ‘A)∃w ∈ (span ‘B)x = (z +h w))
23		r2ex 1694	. . . . 5 ⊢ (∃z ∈ (span ‘A)∃w ∈ (span ‘B)x = (z +h w) ↔ ∃z∃w((z ∈ (span ‘A) ⋀ w ∈ (span ‘B)) ⋀ x = (z +h w)))
24	22, 23	bitr 173	. . . 4 ⊢ (x ∈ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) ↔ ∃z∃w((z ∈ (span ‘A) ⋀ w ∈ (span ‘B)) ⋀ x = (z +h w)))
25		r19.27av 1757	. . . . . . 7 ⊢ ((∀y ∈ Sℋ ((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) ⋀ x = (z +h w)) → ∀y ∈ Sℋ (((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) ⋀ x = (z +h w)))
26		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ z ∈ V
27	26	elspan 9461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℋ → (z ∈ (span ‘A) ↔ ∀y ∈ Sℋ (A ⊆ y → z ∈ y)))
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ (span ‘A) ↔ ∀y ∈ Sℋ (A ⊆ y → z ∈ y))
29		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ w ∈ V
30	29	elspan 9461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ⊆ ℋ → (w ∈ (span ‘B) ↔ ∀y ∈ Sℋ (B ⊆ y → w ∈ y)))
31	4, 30	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ (span ‘B) ↔ ∀y ∈ Sℋ (B ⊆ y → w ∈ y))
32	28, 31	anbi12i 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ (span ‘A) ⋀ w ∈ (span ‘B)) ↔ (∀y ∈ Sℋ (A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ ∀y ∈ Sℋ (B ⊆ y → w ∈ y)))
33		r19.26 1753	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y ∈ Sℋ ((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) ↔ (∀y ∈ Sℋ (A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ ∀y ∈ Sℋ (B ⊆ y → w ∈ y)))
34	32, 33	bitr4 176	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ (span ‘A) ⋀ w ∈ (span ‘B)) ↔ ∀y ∈ Sℋ ((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)))
35	25, 34	sylanb 451	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ (span ‘A) ⋀ w ∈ (span ‘B)) ⋀ x = (z +h w)) → ∀y ∈ Sℋ (((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) ⋀ x = (z +h w)))
36		prth 558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) → ((A ⊆ y ⋀ B ⊆ y) → (z ∈ y ⋀ w ∈ y)))
37		unss 2207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ⊆ y ⋀ B ⊆ y) ↔ (A ∪ B) ⊆ y)
38	36, 37	syl5ibr 207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) → ((A ∪ B) ⊆ y → (z ∈ y ⋀ w ∈ y)))
39		shaddcltOLD 9081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ Sℋ → ((z ∈ y ⋀ w ∈ y) → (z +h w) ∈ y))
40	38, 39	sylan9r 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ Sℋ ⋀ ((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y))) → ((A ∪ B) ⊆ y → (z +h w) ∈ y))
41		eleq1 1537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = (z +h w) → (x ∈ y ↔ (z +h w) ∈ y))
42	41	biimprd 154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (z +h w) → ((z +h w) ∈ y → x ∈ y))
43	40, 42	sylan9 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ Sℋ ⋀ ((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y))) ⋀ x = (z +h w)) → ((A ∪ B) ⊆ y → x ∈ y))
44	43	exp42 385	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ Sℋ → ((A ⊆ y → z ∈ y) → ((B ⊆ y → w ∈ y) → (x = (z +h w) → ((A ∪ B) ⊆ y → x ∈ y)))))
45	44	imp4c 366	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Sℋ → ((((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) ⋀ x = (z +h w)) → ((A ∪ B) ⊆ y → x ∈ y)))
46	45	r19.20i 1707	. . . . . . 7 ⊢ (∀y ∈ Sℋ (((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) ⋀ x = (z +h w)) → ∀y ∈ Sℋ ((A ∪ B) ⊆ y → x ∈ y))
47	1, 4	unssi 2208	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∪ B) ⊆ ℋ
48		visset 1816	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
49	48	elspan 9461	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∪ B) ⊆ ℋ → (x ∈ (span ‘(A ∪ B)) ↔ ∀y ∈ Sℋ ((A ∪ B) ⊆ y → x ∈ y)))
50	47, 49	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (span ‘(A ∪ B)) ↔ ∀y ∈ Sℋ ((A ∪ B) ⊆ y → x ∈ y))
51	46, 50	sylibr 200	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ Sℋ (((A ⊆ y → z ∈ y) ⋀ (B ⊆ y → w ∈ y)) ⋀ x = (z +h w)) → x ∈ (span ‘(A ∪ B)))
52	35, 51	syl 10	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ (span ‘A) ⋀ w ∈ (span ‘B)) ⋀ x = (z +h w)) → x ∈ (span ‘(A ∪ B)))
53	52	19.23aivv 1298	. . . 4 ⊢ (∃z∃w((z ∈ (span ‘A) ⋀ w ∈ (span ‘B)) ⋀ x = (z +h w)) → x ∈ (span ‘(A ∪ B)))
54	24, 53	sylbi 199	. . 3 ⊢ (x ∈ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) → x ∈ (span ‘(A ∪ B)))
55	54	ssriv 2072	. 2 ⊢ ((span ‘A) +ℋ (span ‘B)) ⊆ (span ‘(A ∪ B))
56	21, 55	eqssi 2081	1 ⊢ (span ‘(A ∪ B)) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∀wral 1648  ∃wrex 1649   ∪ cun 2048   ⊆ wss 2050   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969   ℋ chil 8783   +_h cva 8784   S_ℋ csh 8792   +_ℋ cph 8795  spancspn 8796

This theorem is referenced by:  spanunt 9463  spanunsn 9497  spansnj 9586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-sh 9071  df-ch 9087  df-ch0 9120  df-shsum 9268  df-span 9269

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