Theorem specvalt 9819

Description: The value of the spectrum of an operator.

Assertion

Ref	Expression
specvalt	⊢ (T: ℋ –→ ℋ → (Lambda ‘T) = {x ∈ ℂ∣ ¬ (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ })

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem specvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnex 5279	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	rabex 2730	. 2 ⊢ {x ∈ ℂ∣ ¬ (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ } ∈ V
3		ax-hilex 8864	. 2 ⊢ ℋ ∈ V
4		opreq1 3974	. . . . 5 ⊢ (t = T → (t −op (x ·op (I ↾ ℋ ))) = (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))))
5		f1eq1 3666	. . . . 5 ⊢ ((t −op (x ·op (I ↾ ℋ ))) = (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))) → ((t −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ ↔ (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ ))
6	4, 5	syl 10	. . . 4 ⊢ (t = T → ((t −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ ↔ (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ ))
7	6	negbid 613	. . 3 ⊢ (t = T → (¬ (t −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ ↔ ¬ (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ ))
8	7	rabbisdv 1810	. 2 ⊢ (t = T → {x ∈ ℂ∣ ¬ (t −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ } = {x ∈ ℂ∣ ¬ (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ })
9		df-spec 9776	. 2 ⊢ Lambda = {⟨t, y⟩∣(t: ℋ –→ ℋ ⋀ y = {x ∈ ℂ∣ ¬ (t −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ })}
10	2, 3, 3, 8, 9	fvopabf4 4346	1 ⊢ (T: ℋ –→ ℋ → (Lambda ‘T) = {x ∈ ℂ∣ ¬ (T −op (x ·op (I ↾ ℋ ))): ℋ –1-1→ ℋ })

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   = wceq 958  {crab 1651  Icid 2837   ↾ cres 3178  –→wf 3184  –1-1→wf1 3185   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244   ℋ chil 8783   ·_op chot 8803   −_op chod 8804  Lambdacspc 8825

This theorem is referenced by:  specclt 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-qs 4272  df-map 4330  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098  df-nr 5179  df-c 5252  df-spec 9776

Copyright terms: Public domain