Theorem spwcl 8656

Description: Closure of a supremum.

Hypotheses

Ref	Expression
spwval.1	⊢ X = dom R
spwval.2	⊢ (φ ↔ (∀y ∈ A yRx ⋀ ∀y ∈ X (∀z ∈ A zRy → xRy)))

Assertion

Ref	Expression
spwcl	⊢ ((R ∈ Poset ⋀ A ∈ W ⋀ ∃x ∈ X φ) → (R supw A) ∈ X)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,R,y,z   x,X,y

Proof of Theorem spwcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spwval.1	. . 3 ⊢ X = dom R
2		spwval.2	. . 3 ⊢ (φ ↔ (∀y ∈ A yRx ⋀ ∀y ∈ X (∀z ∈ A zRy → xRy)))
3	1, 2	spwval 8655	. 2 ⊢ ((R ∈ Poset ⋀ A ∈ W ⋀ ∃x ∈ X φ) → (R supw A) = ∪{x ∈ X∣φ})
4	2	spweu 8653	. . . 4 ⊢ ((R ∈ Poset ⋀ ∃x ∈ X φ) → ∃!x ∈ X φ)
5		reucl 2891	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ X φ → ∪{x ∈ X∣φ} ∈ X)
6	4, 5	syl 10	. . 3 ⊢ ((R ∈ Poset ⋀ ∃x ∈ X φ) → ∪{x ∈ X∣φ} ∈ X)
7	6	3adant2 800	. 2 ⊢ ((R ∈ Poset ⋀ A ∈ W ⋀ ∃x ∈ X φ) → ∪{x ∈ X∣φ} ∈ X)
8	3, 7	eqeltrd 1551	1 ⊢ ((R ∈ Poset ⋀ A ∈ W ⋀ ∃x ∈ X φ) → (R supw A) ∈ X)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  ∃!wreu 1650  {crab 1651  ∪cuni 2507   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  (class class class)co 3969  Posetcps 8629   sup_w cspw 8630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-ps 8635  df-spw 8636

Copyright terms: Public domain