Theorem sqabsaddt 6848

Description: Square of absolute value of sum. Proposition 10-3.7(g) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
sqabsaddt	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((abs ‘(A + B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))))

Proof of Theorem sqabsaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjaddt 6812	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (∗ ‘(A + B)) = ((∗ ‘A) + (∗ ‘B)))
2	1	opreq2d 3982	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((A + B) · (∗ ‘(A + B))) = ((A + B) · ((∗ ‘A) + (∗ ‘B))))
3		cjclt 6765	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) ∈ ℂ)
4		cjclt 6765	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (∗ ‘B) ∈ ℂ)
5	3, 4	anim12i 333	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((∗ ‘A) ∈ ℂ ⋀ (∗ ‘B) ∈ ℂ))
6		muladdt 5433	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ ((∗ ‘A) ∈ ℂ ⋀ (∗ ‘B) ∈ ℂ)) → ((A + B) · ((∗ ‘A) + (∗ ‘B))) = (((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)) + ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B))))
7	5, 6	mpdan 706	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((A + B) · ((∗ ‘A) + (∗ ‘B))) = (((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)) + ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B))))
8	2, 7	eqtrd 1510	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((A + B) · (∗ ‘(A + B))) = (((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)) + ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B))))
9		axaddcl 5283	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)
10		absvalsqt 6835	. . 3 ⊢ ((A + B) ∈ ℂ → ((abs ‘(A + B))↑2) = ((A + B) · (∗ ‘(A + B))))
11	9, 10	syl 10	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((abs ‘(A + B))↑2) = ((A + B) · (∗ ‘(A + B))))
12		absvalsqt 6835	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((abs ‘A)↑2) = (A · (∗ ‘A)))
13		absvalsqt 6835	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → ((abs ‘B)↑2) = (B · (∗ ‘B)))
14		axmulcom 5288	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ (∗ ‘B) ∈ ℂ) → (B · (∗ ‘B)) = ((∗ ‘B) · B))
15	4, 14	mpdan 706	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (B · (∗ ‘B)) = ((∗ ‘B) · B))
16	13, 15	eqtrd 1510	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℂ → ((abs ‘B)↑2) = ((∗ ‘B) · B))
17	12, 16	opreqan12d 3985	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) = ((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)))
18		axmulcl 5285	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (∗ ‘B) ∈ ℂ) → (A · (∗ ‘B)) ∈ ℂ)
19	18, 4	sylan2 453	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A · (∗ ‘B)) ∈ ℂ)
20		addcjt 6815	. . . . 5 ⊢ ((A · (∗ ‘B)) ∈ ℂ → ((A · (∗ ‘B)) + (∗ ‘(A · (∗ ‘B)))) = (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))))
21	19, 20	syl 10	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((A · (∗ ‘B)) + (∗ ‘(A · (∗ ‘B)))) = (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))))
22		cjmult 6813	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (∗ ‘B) ∈ ℂ) → (∗ ‘(A · (∗ ‘B))) = ((∗ ‘A) · (∗ ‘(∗ ‘B))))
23	22, 4	sylan2 453	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (∗ ‘(A · (∗ ‘B))) = ((∗ ‘A) · (∗ ‘(∗ ‘B))))
24		cjcjt 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℂ → (∗ ‘(∗ ‘B)) = B)
25	24	adantl 390	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (∗ ‘(∗ ‘B)) = B)
26	25	opreq2d 3982	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((∗ ‘A) · (∗ ‘(∗ ‘B))) = ((∗ ‘A) · B))
27	23, 26	eqtrd 1510	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (∗ ‘(A · (∗ ‘B))) = ((∗ ‘A) · B))
28	27	opreq2d 3982	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((A · (∗ ‘B)) + (∗ ‘(A · (∗ ‘B)))) = ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B)))
29	21, 28	eqtr3d 1512	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) = ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B)))
30	17, 29	opreq12d 3984	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))) = (((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)) + ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B))))
31	8, 11, 30	3eqtr4d 1520	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((abs ‘(A + B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244   + caddc 5249   · cmul 5251  2c2 5963  ↑cexp 6569  ℜcre 6748  ∗ccj 6750  abscabs 6751

This theorem is referenced by:  sqabsadd 6850  cnph 8474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

Copyright terms: Public domain