Theorem sqr2irr 6659

Description: The square root of 2 is irrational.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irr	⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Proof of Theorem sqr2irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem3 6656	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))
2		sqr2irrlem5 6658	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℕ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) ↔ (x↑2) = (2 · (y↑2))))
3	2	2rexbiia 1667	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) ↔ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
4	1, 3	mtbir 192	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
5		nngt0t 5894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → 0 < y)
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → 0 < y)
7		0re 5412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		ltmuldivt 5817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ 0 < y) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
9	8	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
10	7, 9	mp3an1 900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
11		nnret 5877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
12		zret 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
14	6, 13	mpd 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
15	14	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
16		2re 5926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2pos 5936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
18	16, 17	sqrgt0i 6627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (√ ‘2)
19		breq2 2613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → (0 < (√ ‘2) ↔ 0 < (x / y)))
20	18, 19	mpbii 193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < (x / y))
21	15, 20	syl5bir 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → (0 · y) < x))
22		nncnt 5878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
23		mul02t 5416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℂ → (0 · y) = 0)
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → (0 · y) = 0)
25	24	breq1d 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℕ → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
26	25	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
27	21, 26	sylibd 202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
28	27	r19.23adva 1739	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
29	28	anc2li 302	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → (x ∈ ℤ ⋀ 0 < x)))
30		elnnz 6092	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ ↔ (x ∈ ℤ ⋀ 0 < x))
31	29, 30	syl6ibr 213	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → x ∈ ℕ))
32	31	impac 387	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)) → (x ∈ ℕ ⋀ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)))
33	32	r19.22i2 1725	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
34	4, 33	mto 106	. . 3 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
35		elq 6195	. . 3 ⊢ ((√ ‘2) ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
36	34, 35	mtbir 192	. 2 ⊢ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ
37		df-nel 1580	. 2 ⊢ ((√ ‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ)
38	36, 37	mpbir 190	1 ⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955   ∉ wnel 1578  ∃wrex 1638   class class class wbr 2609   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  ℂcc 5204  ℝcr 5205  0cc0 5206   · cmul 5211   / cdiv 5266  ℕcn 5268  ℤcz 5270  ℚcq 5271   < clt 5458  2c2 5908  ↑cexp 6500  √csqr 6599

This theorem is referenced by:  nthruc 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600

Copyright terms: Public domain