Theorem sqr2irrlem1 6725

Description: Lemma for irrationality of square root of 2. Technical lemma used to simplify the main induction step.

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem1.1	⊢ A ∈ ℕ
sqr2irrlem1.2	⊢ B ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem1	⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2))))

Proof of Theorem sqr2irrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ B ∈ ℕ
2	1	nnre 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℝ
3	2	resqcl 6624	. . . . . . . 8 ⊢ (B↑2) ∈ ℝ
4	3	recn 5326	. . . . . . 7 ⊢ (B↑2) ∈ ℂ
5	4	mulid2 5345	. . . . . 6 ⊢ (1 · (B↑2)) = (B↑2)
6		1lt2 6030	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
7		1re 5447	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		2re 5981	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	1	nnsqcl 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (B↑2) ∈ ℕ
10	9	nngt0 5952	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (B↑2)
11	7, 8, 3, 10	ltmul1i 5823	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 · (B↑2)) < (2 · (B↑2)))
12	6, 11	mpbi 189	. . . . . 6 ⊢ (1 · (B↑2)) < (2 · (B↑2))
13	5, 12	eqbrtrr 2641	. . . . 5 ⊢ (B↑2) < (2 · (B↑2))
14		breq2 2628	. . . . 5 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B↑2) < (A↑2) ↔ (B↑2) < (2 · (B↑2))))
15	13, 14	mpbiri 194	. . . 4 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (B↑2) < (A↑2))
16		0re 5452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	1	nngt0 5952	. . . . . 6 ⊢ 0 < B
18	16, 2, 17	ltlei 5593	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ B
19		sqr2irrlem1.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℕ
20	19	nnre 5933	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℝ
21	19	nngt0 5952	. . . . . 6 ⊢ 0 < A
22	16, 20, 21	ltlei 5593	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ A
23	2, 20	lt2sq 6625	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ B ⋀ 0 ≤ A) → (B < A ↔ (B↑2) < (A↑2)))
24	18, 22, 23	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (B < A ↔ (B↑2) < (A↑2))
25	15, 24	sylibr 200	. . 3 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → B < A)
26	20	resqcl 6624	. . . . . . 7 ⊢ (A↑2) ∈ ℝ
27	26	recn 5326	. . . . . 6 ⊢ (A↑2) ∈ ℂ
28		2cn 5982	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
29		2ne0 5992	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
30	27, 28, 4, 29	divmul 5717	. . . . 5 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) ↔ (2 · (B↑2)) = (A↑2))
31		eleq1 1537	. . . . . . 7 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) → (((A↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (B↑2) ∈ ℕ))
32	9, 31	mpbiri 194	. . . . . 6 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) → ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)
33	19	nnesq 6663	. . . . . 6 ⊢ ((A / 2) ∈ ℕ ↔ ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)
34	32, 33	sylibr 200	. . . . 5 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) → (A / 2) ∈ ℕ)
35	30, 34	sylbir 201	. . . 4 ⊢ ((2 · (B↑2)) = (A↑2) → (A / 2) ∈ ℕ)
36	35	eqcoms 1481	. . 3 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (A / 2) ∈ ℕ)
37	25, 36	jca 288	. 2 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ))
38	20, 8, 29	redivcl 5800	. . . . . . . . 9 ⊢ (A / 2) ∈ ℝ
39	38	resqcl 6624	. . . . . . . 8 ⊢ ((A / 2)↑2) ∈ ℝ
40	8, 39	remulcl 5347	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((A / 2)↑2)) ∈ ℝ
41	40	recn 5326	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((A / 2)↑2)) ∈ ℂ
42	28, 41, 4, 29	mulcanOLD 5699	. . . . 5 ⊢ ((2 · (2 · ((A / 2)↑2))) = (2 · (B↑2)) ↔ (2 · ((A / 2)↑2)) = (B↑2))
43	19	nncn 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ A ∈ ℂ
44	43, 28, 29	sqdiv 6619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A / 2)↑2) = ((A↑2) / (2↑2))
45	28	sqval 6615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
46	45	opreq2i 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A↑2) / (2↑2)) = ((A↑2) / (2 · 2))
47	44, 46	eqtr 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((A / 2)↑2) = ((A↑2) / (2 · 2))
48	47	opreq2i 3978	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((A / 2)↑2)) = ((2 · 2) · ((A↑2) / (2 · 2)))
49	39	recn 5326	. . . . . . . 8 ⊢ ((A / 2)↑2) ∈ ℂ
50	28, 28, 49	mulass 5337	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((A / 2)↑2)) = (2 · (2 · ((A / 2)↑2)))
51	28, 28	mulcl 5333	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) ∈ ℂ
52	28, 28, 29, 29	muln0 5711	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) ≠ 0
53	27, 51, 52	divcan2 5728	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((A↑2) / (2 · 2))) = (A↑2)
54	48, 50, 53	3eqtr3 1506	. . . . . 6 ⊢ (2 · (2 · ((A / 2)↑2))) = (A↑2)
55	54	eqeq1i 1485	. . . . 5 ⊢ ((2 · (2 · ((A / 2)↑2))) = (2 · (B↑2)) ↔ (A↑2) = (2 · (B↑2)))
56	42, 55	bitr3 175	. . . 4 ⊢ ((2 · ((A / 2)↑2)) = (B↑2) ↔ (A↑2) = (2 · (B↑2)))
57	56	biimpr 152	. . 3 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (2 · ((A / 2)↑2)) = (B↑2))
58	57	eqcomd 1483	. 2 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2)))
59	37, 58	jca 288	1 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2))))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  0cc0 5246  1c1 5247   · cmul 5251   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℕcn 5308   < clt 5498  2c2 5963  ↑cexp 6569

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem2 6726

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain