Theorem sqr2irrlem2 6726

Description: Lemma for irrationality of square root of 2. Eliminates hypotheses with weak deduction theorem.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem2	⊢ ((A ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) → ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2)))))

Proof of Theorem sqr2irrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → (A↑2) = ( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2))
2	1	eqeq1d 1486	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → ((A↑2) = (2 · (B↑2)) ↔ ( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2) = (2 · (B↑2))))
3		breq2 2628	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → (B < A ↔ B < if(A ∈ ℕ, A, 2)))
4		opreq1 3974	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → (A / 2) = ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2))
5	4	eleq1d 1543	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → ((A / 2) ∈ ℕ ↔ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ))
6	3, 5	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → ((B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ) ↔ (B < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ)))
7	4	opreq1d 3981	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → ((A / 2)↑2) = (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2))
8	7	opreq2d 3982	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → (2 · ((A / 2)↑2)) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2)))
9	8	eqeq2d 1489	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → ((B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2)) ↔ (B↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2))))
10	6, 9	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → (((B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2))) ↔ ((B < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2)))))
11	2, 10	imbi12d 628	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℕ, A, 2) → (((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2)))) ↔ (( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2))))))
12		opreq1 3974	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → (B↑2) = ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2))
13	12	opreq2d 3982	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → (2 · (B↑2)) = (2 · ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2)))
14	13	eqeq2d 1489	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → (( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2) = (2 · (B↑2)) ↔ ( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2) = (2 · ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2))))
15		breq1 2627	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → (B < if(A ∈ ℕ, A, 2) ↔ if(B ∈ ℕ, B, 2) < if(A ∈ ℕ, A, 2)))
16	15	anbi1d 619	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → ((B < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ↔ ( if(B ∈ ℕ, B, 2) < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ)))
17	12	eqeq1d 1486	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → ((B↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2)) ↔ ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2))))
18	16, 17	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → (((B < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2))) ↔ (( if(B ∈ ℕ, B, 2) < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ⋀ ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2)))))
19	14, 18	imbi12d 628	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℕ, B, 2) → ((( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2)))) ↔ (( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2) = (2 · ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2)) → (( if(B ∈ ℕ, B, 2) < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ⋀ ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2))))))
20		2nn 6001	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	20	elimel 2398	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℕ, A, 2) ∈ ℕ
22	20	elimel 2398	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℕ, B, 2) ∈ ℕ
23	21, 22	sqr2irrlem1 6725	. 2 ⊢ (( if(A ∈ ℕ, A, 2)↑2) = (2 · ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2)) → (( if(B ∈ ℕ, B, 2) < if(A ∈ ℕ, A, 2) ⋀ ( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2) ∈ ℕ) ⋀ ( if(B ∈ ℕ, B, 2)↑2) = (2 · (( if(A ∈ ℕ, A, 2) / 2)↑2))))
24	11, 19, 23	dedth2h 2391	1 ⊢ ((A ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) → ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < A ⋀ (A / 2) ∈ ℕ) ⋀ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2)))))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ifcif 2365   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969   · cmul 5251   / cdiv 5306  ℕcn 5308   < clt 5498  2c2 5963  ↑cexp 6569

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem3 6727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain