Theorem sqrlem22 6695

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ A ∈ ℝ
sqrlem1.2	⊢ 0 < A
sqrlem21.3	⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ⋀ (x · x) ≤ A)}
sqrlem21.4	⊢ B = sup(S, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
sqrlem22	⊢ ¬ (B · B) < A

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,S

Proof of Theorem sqrlem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem21.4	. 2 ⊢ B = sup(S, ℝ, < )
2		eqeq1 1484	. . . 4 ⊢ (B = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → (B = sup(S, ℝ, < ) ↔ if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, ℝ, < )))
3	2	negbid 613	. . 3 ⊢ (B = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → (¬ B = sup(S, ℝ, < ) ↔ ¬ if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, ℝ, < )))
4		sqrlem1.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
5		sqrlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 < A
6		sqrlem21.3	. . . . . 6 ⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ⋀ (x · x) ≤ A)}
7	4, 5, 6, 1	sqrlem7 6680	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℝ
8		1re 5447	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8, 4	readdcl 5346	. . . . . 6 ⊢ (1 + A) ∈ ℝ
10		lt01 5692	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11	8, 4, 10, 5	addgt0i 5613	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 + A)
12	9, 11	gt0ne0i 5629	. . . . . 6 ⊢ (1 + A) ≠ 0
13	4, 9, 12	redivcl 5800	. . . . 5 ⊢ (A / (1 + A)) ∈ ℝ
14	7, 13	keepel 2403	. . . 4 ⊢ if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) ∈ ℝ
15		breq2 2628	. . . . 5 ⊢ (B = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → (0 < B ↔ 0 < if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))))
16		breq2 2628	. . . . 5 ⊢ ((A / (1 + A)) = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → (0 < (A / (1 + A)) ↔ 0 < if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))))
17	4, 5, 6, 1	sqrlem8 6681	. . . . 5 ⊢ 0 < B
18	4, 5	sqrlem3 6676	. . . . 5 ⊢ 0 < (A / (1 + A))
19	15, 16, 17, 18	keephyp 2400	. . . 4 ⊢ 0 < if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))
20		opreq12 3976	. . . . . . 7 ⊢ ((B = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) ⋀ B = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))) → (B · B) = ( if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) · if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))))
21	20	anidms 436	. . . . . 6 ⊢ (B = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → (B · B) = ( if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) · if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))))
22	21	breq1d 2634	. . . . 5 ⊢ (B = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → ((B · B) < A ↔ ( if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) · if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A))
23		opreq12 3976	. . . . . . 7 ⊢ (((A / (1 + A)) = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) ⋀ (A / (1 + A)) = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))) → ((A / (1 + A)) · (A / (1 + A))) = ( if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) · if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))))
24	23	anidms 436	. . . . . 6 ⊢ ((A / (1 + A)) = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → ((A / (1 + A)) · (A / (1 + A))) = ( if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) · if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))))
25	24	breq1d 2634	. . . . 5 ⊢ ((A / (1 + A)) = if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) → (((A / (1 + A)) · (A / (1 + A))) < A ↔ ( if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) · if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A))
26	4, 5	sqrlem2 6675	. . . . 5 ⊢ ((A / (1 + A)) · (A / (1 + A))) < A
27	22, 25, 26	elimhyp 2394	. . . 4 ⊢ ( if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) · if((B · B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A
28	4, 5, 14, 19, 27, 6	sqrlem20 6693	. . 3 ⊢ ¬ if((B · B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, ℝ, < )
29	3, 28	dedth 2387	. 2 ⊢ ((B · B) < A → ¬ B = sup(S, ℝ, < ))
30	1, 29	mt2 109	1 ⊢ ¬ (B · B) < A

Syntax hints:  ¬ wn 2   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  {crab 1651   ifcif 2365   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  supcsup 4582  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   / cdiv 5306   ≤ cle 5307   < clt 5498

This theorem is referenced by:  sqrlem23 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715

Copyright terms: Public domain