Theorem sqrth 6629

Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29.

(A bit of trivia: This theorem was added to the database before the number 2 was defined and before exponents were defined. Thus you will see (1 + 1) and (x · x) throughout its lemmas.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrth.1	⊢ A ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
sqrth	⊢ (0 ≤ A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)

Proof of Theorem sqrth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5412	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		sqrth.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℝ
3	1, 2	leloe 5548	. 2 ⊢ (0 ≤ A ↔ (0 < A ⋁ 0 = A))
4		fveq2 3709	. . . . . 6 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (√ ‘A) = (√ ‘ if(0 < A, A, 1)))
5	4, 4	opreq12d 3963	. . . . 5 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = ((√ ‘ if(0 < A, A, 1)) · (√ ‘ if(0 < A, A, 1))))
6		id 59	. . . . 5 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → A = if(0 < A, A, 1))
7	5, 6	eqeq12d 1481	. . . 4 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A ↔ ((√ ‘ if(0 < A, A, 1)) · (√ ‘ if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)))
8		1re 5407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	2, 8	keepel 2389	. . . . 5 ⊢ if(0 < A, A, 1) ∈ ℝ
10		elimgt0 5765	. . . . 5 ⊢ 0 < if(0 < A, A, 1)
11	9, 10	sqrlem26 6628	. . . 4 ⊢ ((√ ‘ if(0 < A, A, 1)) · (√ ‘ if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)
12	7, 11	dedth 2373	. . 3 ⊢ (0 < A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)
13		sqr0 6602	. . . . . 6 ⊢ (√ ‘0) = 0
14	13, 13	opreq12i 3958	. . . . 5 ⊢ ((√ ‘0) · (√ ‘0)) = (0 · 0)
15		0cn 5300	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
16	15	mul01 5403	. . . . 5 ⊢ (0 · 0) = 0
17	14, 16	eqtr 1487	. . . 4 ⊢ ((√ ‘0) · (√ ‘0)) = 0
18		fveq2 3709	. . . . . 6 ⊢ (0 = A → (√ ‘0) = (√ ‘A))
19	18, 18	opreq12d 3963	. . . . 5 ⊢ (0 = A → ((√ ‘0) · (√ ‘0)) = ((√ ‘A) · (√ ‘A)))
20		id 59	. . . . 5 ⊢ (0 = A → 0 = A)
21	19, 20	eqeq12d 1481	. . . 4 ⊢ (0 = A → (((√ ‘0) · (√ ‘0)) = 0 ↔ ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A))
22	17, 21	mpbii 193	. . 3 ⊢ (0 = A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)
23	12, 22	jaoi 341	. 2 ⊢ ((0 < A ⋁ 0 = A) → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)
24	3, 23	sylbi 199	1 ⊢ (0 ≤ A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)

Syntax hints:   → wi 3   ⋁ wo 222   = wceq 953   ∈ wcel 955   ifcif 2351   class class class wbr 2609   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  ℝcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   · cmul 5211   ≤ cle 5267   < clt 5458  √csqr 6599

This theorem is referenced by:  sqr11 6633  sqrmuli 6634  sqrmsq2 6636  sqrle 6637  sqrlt 6638  sqsqr 6651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-sqr 6600

Copyright terms: Public domain