Theorem ssdomg 4414

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (A ∈ C → (A ⊆ B → A ≼ B))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1domg 4402	. 2 ⊢ (A ∈ C → ((I ↾ A):A–1-1→B → A ≼ B))
2		f1oi 3723	. . . . . . . 8 ⊢ (I ↾ A):A–1-1-onto→A
3		f1o3 3700	. . . . . . . 8 ⊢ ((I ↾ A):A–1-1-onto→A ↔ ((I ↾ A):A–onto→A ⋀ Fun ◡(I ↾ A)))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 ⊢ ((I ↾ A):A–onto→A ⋀ Fun ◡(I ↾ A))
5	4	pm3.26i 320	. . . . . 6 ⊢ (I ↾ A):A–onto→A
6		fof 3678	. . . . . 6 ⊢ ((I ↾ A):A–onto→A → (I ↾ A):A–→A)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (I ↾ A):A–→A
8		fss 3641	. . . . 5 ⊢ (((I ↾ A):A–→A ⋀ A ⊆ B) → (I ↾ A):A–→B)
9	7, 8	mpan 697	. . . 4 ⊢ (A ⊆ B → (I ↾ A):A–→B)
10		funi 3551	. . . . . 6 ⊢ Fun I
11		cnvi 3453	. . . . . . 7 ⊢ ◡I = I
12		funeq 3541	. . . . . . 7 ⊢ (◡I = I → (Fun ◡I ↔ Fun I))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡I ↔ Fun I)
14	10, 13	mpbir 190	. . . . 5 ⊢ Fun ◡I
15		funres11 3573	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡I → Fun ◡(I ↾ A))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ Fun ◡(I ↾ A)
17	9, 16	jctir 293	. . 3 ⊢ (A ⊆ B → ((I ↾ A):A–→B ⋀ Fun ◡(I ↾ A)))
18		df-f1 3201	. . 3 ⊢ ((I ↾ A):A–1-1→B ↔ ((I ↾ A):A–→B ⋀ Fun ◡(I ↾ A)))
19	17, 18	sylibr 200	. 2 ⊢ (A ⊆ B → (I ↾ A):A–1-1→B)
20	1, 19	syl5 21	1 ⊢ (A ∈ C → (A ⊆ B → A ≼ B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ⊆ wss 2050   class class class wbr 2624  Icid 2837  ^◡ccnv 3175   ↾ cres 3178  Fun wfun 3182  –→wf 3184  –1-1→wf1 3185  –onto→wfo 3186  –1-1-onto→wf1o 3187   ≼ cdom 4371

This theorem is referenced by:  ssdom2g 4415  xpdom3 4451  0dom 4470  mapdom1 4498  onomeneq 4525  nndomo 4526  omsdomnn 4538  unbnn 4555  pwfilem 4577  pwfilemOLD 4578  fodom 4808  carddomi 4845  unxpdomlem 4854  sdomel 4858  ondomon 4867  carduni 4869  cardprc 4872  alephordlem2 4884  alephordi 4885  alephval2 4913  cdadom3 4947  znnen 7503  qnnen 7504  infxpidmlem1 7553  infxpidmlem8 7560  infxpidmlem11 7563  infxpidmlem12 7564  infunabs 7566  infdif 7569  infmap2 7583  alephexp1 7586  axgroth2 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain