Theorem sshjval3t 9321

Description: Value of join for subsets of Hilbert space in terms of supremum: the join is the supremum of its two arguments. Based on the definition of join in [Beran] p. 3.

Assertion

Ref	Expression
sshjval3t	⊢ ((A ⊆ ℋ ⋀ B ⊆ ℋ ) → (A ∨ℋ B) = ( ∨ℋ ‘{A, B}))

Proof of Theorem sshjval3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3738	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{A, B}) ∈ V
2		preq1 2452	. . . 4 ⊢ (x = A → {x, y} = {A, y})
3	2	fveq2d 3734	. . 3 ⊢ (x = A → ( ∨ℋ ‘{x, y}) = ( ∨ℋ ‘{A, y}))
4		preq2 2453	. . . 4 ⊢ (y = B → {A, y} = {A, B})
5	4	fveq2d 3734	. . 3 ⊢ (y = B → ( ∨ℋ ‘{A, y}) = ( ∨ℋ ‘{A, B}))
6		dfchj3 9320	. . . 4 ⊢ ∨ℋ = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ⊆ ℋ ⋀ y ⊆ ℋ ) ⋀ z = ( ∨ℋ ‘{x, y}))}
7		ax-hilex 8864	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
8	7	elpw2 2733	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℘ ℋ ↔ x ⊆ ℋ )
9	7	elpw2 2733	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℘ ℋ ↔ y ⊆ ℋ )
10	8, 9	anbi12i 484	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℘ ℋ ⋀ y ∈ ℘ ℋ ) ↔ (x ⊆ ℋ ⋀ y ⊆ ℋ ))
11	10	anbi1i 483	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ ℘ ℋ ⋀ y ∈ ℘ ℋ ) ⋀ z = ( ∨ℋ ‘{x, y})) ↔ ((x ⊆ ℋ ⋀ y ⊆ ℋ ) ⋀ z = ( ∨ℋ ‘{x, y})))
12	11	oprabbii 4003	. . . 4 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℘ ℋ ⋀ y ∈ ℘ ℋ ) ⋀ z = ( ∨ℋ ‘{x, y}))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ⊆ ℋ ⋀ y ⊆ ℋ ) ⋀ z = ( ∨ℋ ‘{x, y}))}
13	6, 12	eqtr4 1501	. . 3 ⊢ ∨ℋ = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℘ ℋ ⋀ y ∈ ℘ ℋ ) ⋀ z = ( ∨ℋ ‘{x, y}))}
14	1, 3, 5, 13	oprabval2 4034	. 2 ⊢ ((A ∈ ℘ ℋ ⋀ B ∈ ℘ ℋ ) → (A ∨ℋ B) = ( ∨ℋ ‘{A, B}))
15	7	elpw2 2733	. 2 ⊢ (A ∈ ℘ ℋ ↔ A ⊆ ℋ )
16	7	elpw2 2733	. 2 ⊢ (B ∈ ℘ ℋ ↔ B ⊆ ℋ )
17	14, 15, 16	syl2anbr 458	1 ⊢ ((A ⊆ ℋ ⋀ B ⊆ ℋ ) → (A ∨ℋ B) = ( ∨ℋ ‘{A, B}))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ⊆ wss 2050  ℘cpw 2405  {cpr 2414   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970   ℋ chil 8783   ∨_ℋ chj 8797   ∨_ℋ chsup 8798

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-chj 9270  df-chsup 9271

Copyright terms: Public domain