Theorem ssiun 2596

Description: Subset implication for an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
ssiun	⊢ (∃x ∈ A C ⊆ B → C ⊆ ∪x ∈ A B)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem ssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1653	. 2 ⊢ (∃x ∈ A C ⊆ B ↔ ∃x(x ∈ A ⋀ C ⊆ B))
2		pm3.35 359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ C ⋀ (y ∈ C → y ∈ B)) → y ∈ B)
3	2	anim2i 335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ⋀ (y ∈ C ⋀ (y ∈ C → y ∈ B))) → (x ∈ A ⋀ y ∈ B))
4	3	exp32 379	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ A → (y ∈ C → ((y ∈ C → y ∈ B) → (x ∈ A ⋀ y ∈ B))))
5	4	com23 32	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → ((y ∈ C → y ∈ B) → (y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B))))
6	5	imp 350	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ⋀ (y ∈ C → y ∈ B)) → (y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B)))
7		ssel 2066	. . . . . 6 ⊢ (C ⊆ B → (y ∈ C → y ∈ B))
8	6, 7	sylan2 453	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ⋀ C ⊆ B) → (y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B)))
9	8	19.22i 1042	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ A ⋀ C ⊆ B) → ∃x(y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B)))
10	9	19.21aiv 1288	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ A ⋀ C ⊆ B) → ∀y∃x(y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B)))
11		eliun 2574	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A B ↔ ∃x ∈ A y ∈ B)
12		df-rex 1653	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ B ↔ ∃x(x ∈ A ⋀ y ∈ B))
13	11, 12	bitr2 174	. . . . . 6 ⊢ (∃x(x ∈ A ⋀ y ∈ B) ↔ y ∈ ∪x ∈ A B)
14	13	imbi2i 185	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ C → ∃x(x ∈ A ⋀ y ∈ B)) ↔ (y ∈ C → y ∈ ∪x ∈ A B))
15	14	albii 1001	. . . 4 ⊢ (∀y(y ∈ C → ∃x(x ∈ A ⋀ y ∈ B)) ↔ ∀y(y ∈ C → y ∈ ∪x ∈ A B))
16		19.37v 1305	. . . . 5 ⊢ (∃x(y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B)) ↔ (y ∈ C → ∃x(x ∈ A ⋀ y ∈ B)))
17	16	albii 1001	. . . 4 ⊢ (∀y∃x(y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B)) ↔ ∀y(y ∈ C → ∃x(x ∈ A ⋀ y ∈ B)))
18		dfss2 2061	. . . 4 ⊢ (C ⊆ ∪x ∈ A B ↔ ∀y(y ∈ C → y ∈ ∪x ∈ A B))
19	15, 17, 18	3bitr4 183	. . 3 ⊢ (∀y∃x(y ∈ C → (x ∈ A ⋀ y ∈ B)) ↔ C ⊆ ∪x ∈ A B)
20	10, 19	sylib 198	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ A ⋀ C ⊆ B) → C ⊆ ∪x ∈ A B)
21	1, 20	sylbi 199	1 ⊢ (∃x ∈ A C ⊆ B → C ⊆ ∪x ∈ A B)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 956   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∃wrex 1649   ⊆ wss 2050  ∪ciun 2570

This theorem is referenced by:  iunss2 2599  iunpwss 2623  iunpw 2920  oen0 4219  trcl 4655  r1tr 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-rex 1653  df-v 1815  df-in 2054  df-ss 2056  df-iun 2572

Copyright terms: Public domain