Theorem sspival 8393

Description: The inner product on a subspace in terms of the inner product on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
sspi.y	⊢ Y = (Base ‘W)
sspi.p	⊢ P = ( ·i ‘U)
sspi.q	⊢ Q = ( ·i ‘W)
sspi.h	⊢ H = (SubSp ‘U)

Assertion

Ref	Expression
sspival	⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → (AQB) = (APB))

Proof of Theorem sspival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspi.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Y = (Base ‘W)
2		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ·s ‘W) = ( ·s ‘W)
3	1, 2	nvscl 8243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ (i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y) → ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y)
4	3	3expib 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (W ∈ NrmCVec → (((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y) → ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y))
5	4	anim2d 563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (W ∈ NrmCVec → ((A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y)) → (A ∈ Y ⋀ ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y)))
6	5	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → (A ∈ Y ⋀ ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y))
7		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( +v ‘W) = ( +v ‘W)
8	1, 7	nvgcl 8235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ Y ⋀ ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y) → (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) ∈ Y)
9	8	3expb 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y)) → (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) ∈ Y)
10	6, 9	syldan 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) ∈ Y)
11		sspi.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ H = (SubSp ‘U)
12	11	sspnv 8381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) → W ∈ NrmCVec)
13	10, 12	sylan 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) ∈ Y)
14		eqid 1478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (norm ‘U) = (norm ‘U)
15		eqid 1478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (norm ‘W) = (norm ‘W)
16	1, 14, 15, 11	sspnval 8392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H ⋀ (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) ∈ Y) → ((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))) = ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))))
17	16	3expa 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) ∈ Y) → ((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))) = ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))))
18	13, 17	syldan 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → ((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))) = ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))))
19	12, 4	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) → (((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y) → ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y))
20	19	anim2d 563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) → ((A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y)) → (A ∈ Y ⋀ ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y)))
21	20	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → (A ∈ Y ⋀ ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y))
22		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( +v ‘U) = ( +v ‘U)
23	1, 22, 7, 11	sspgval 8384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k)( ·s ‘W)B) ∈ Y)) → (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) = (A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘W)B)))
24	21, 23	syldan 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) = (A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘W)B)))
25		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·s ‘U) = ( ·s ‘U)
26	1, 25, 2, 11	sspsval 8386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y)) → ((i↑k)( ·s ‘W)B) = ((i↑k)( ·s ‘U)B))
27	26	adantrl 396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → ((i↑k)( ·s ‘W)B) = ((i↑k)( ·s ‘U)B))
28	27	opreq2d 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → (A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘W)B)) = (A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))
29	24, 28	eqtrd 1510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → (A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)) = (A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))
30	29	fveq2d 3734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))) = ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B))))
31	18, 30	eqtrd 1510	. . . . . . . 8 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))) → ((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))) = ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B))))
32		elfznnt 6495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (k ∈ (1...4) → k ∈ ℕ)
33		nnnn0t 6108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (k ∈ ℕ → k ∈ ℕ0)
34		axicn 5282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
35		expclt 6582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → (i↑k) ∈ ℂ)
36	34, 35	mpan 697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (i↑k) ∈ ℂ)
37	32, 33, 36	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (k ∈ (1...4) → (i↑k) ∈ ℂ)
38	37	anim1i 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((k ∈ (1...4) ⋀ B ∈ Y) → ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y))
39	38	anim2i 335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ Y ⋀ (k ∈ (1...4) ⋀ B ∈ Y)) → (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y)))
40	39	anassrs 443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Y ⋀ k ∈ (1...4)) ⋀ B ∈ Y) → (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y)))
41	40	an1rs 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Y ⋀ B ∈ Y) ⋀ k ∈ (1...4)) → (A ∈ Y ⋀ ((i↑k) ∈ ℂ ⋀ B ∈ Y)))
42	31, 41	sylan2 453	. . . . . . 7 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ ((A ∈ Y ⋀ B ∈ Y) ⋀ k ∈ (1...4))) → ((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))) = ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B))))
43	42	anassrs 443	. . . . . 6 ⊢ ((((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) ⋀ k ∈ (1...4)) → ((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B))) = ((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B))))
44	43	opreq1d 3981	. . . . 5 ⊢ ((((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) ⋀ k ∈ (1...4)) → (((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)))↑2) = (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2))
45	44	opreq2d 3982	. . . 4 ⊢ ((((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) ⋀ k ∈ (1...4)) → ((i↑k) · (((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)))↑2)) = ((i↑k) · (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2)))
46	45	sumeq2dv 6992	. . 3 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)))↑2)) = Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2)))
47	46	opreq1d 3981	. 2 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)))↑2)) / 4) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2)) / 4))
48		sspi.q	. . . . 5 ⊢ Q = ( ·i ‘W)
49	1, 7, 2, 15, 48	ipval 8349	. . . 4 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ Y ⋀ B ∈ Y) → (AQB) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)))↑2)) / 4))
50	49	3expb 836	. . 3 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → (AQB) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)))↑2)) / 4))
51	50, 12	sylan 450	. 2 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → (AQB) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘W) ‘(A( +v ‘W)((i↑k)( ·s ‘W)B)))↑2)) / 4))
52		eqid 1478	. . . . . . 7 ⊢ (Base ‘U) = (Base ‘U)
53	52, 1, 11	sspba 8382	. . . . . 6 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) → Y ⊆ (Base ‘U))
54	53	sseld 2070	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) → (A ∈ Y → A ∈ (Base ‘U)))
55	53	sseld 2070	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) → (B ∈ Y → B ∈ (Base ‘U)))
56	54, 55	anim12d 560	. . . 4 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) → ((A ∈ Y ⋀ B ∈ Y) → (A ∈ (Base ‘U) ⋀ B ∈ (Base ‘U))))
57	56	imp 350	. . 3 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → (A ∈ (Base ‘U) ⋀ B ∈ (Base ‘U)))
58		sspi.p	. . . . . 6 ⊢ P = ( ·i ‘U)
59	52, 22, 25, 14, 58	ipval 8349	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ (Base ‘U) ⋀ B ∈ (Base ‘U)) → (APB) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2)) / 4))
60	59	3expb 836	. . . 4 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (A ∈ (Base ‘U) ⋀ B ∈ (Base ‘U))) → (APB) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2)) / 4))
61	60	adantlr 395	. . 3 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ (Base ‘U) ⋀ B ∈ (Base ‘U))) → (APB) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2)) / 4))
62	57, 61	syldan 469	. 2 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → (APB) = (Σk ∈ (1...4)((i↑k) · (((norm ‘U) ‘(A( +v ‘U)((i↑k)( ·s ‘U)B)))↑2)) / 4))
63	47, 51, 62	3eqtr4d 1520	1 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ H) ⋀ (A ∈ Y ⋀ B ∈ Y)) → (AQB) = (APB))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  1c1 5247  ici 5248   · cmul 5251   / cdiv 5306  ℕcn 5308  ℕ₀cn0 5309  2c2 5963  4c4 5965  ...cfz 6468  ↑cexp 6569  Σcsu 6979  NrmCVeccnv 8199   +_v cpv 8200  Basecba 8201   ·_s cns 8202  normcnm 8205   ·_i cip 8345  SubSpcss 8376

This theorem is referenced by:  sspi 8394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sum 6980  df-grp 8034  df-gid 8035  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-ip 8346  df-ssp 8377

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