Theorem ster 4274

Description: A symmetric, transitive relation is an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ster.1	⊢ (xRy → yRx)
ster.2	⊢ ((xRy ⋀ yRz) → xRz)

Assertion

Ref	Expression
ster	⊢ Er R

Distinct variable group:   x,y,z,R

Proof of Theorem ster

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfer2 4268	. 2 ⊢ (Er R ↔ ∀x∀y∀z((xRy → yRx) ⋀ ((xRy ⋀ yRz) → xRz)))
2		ster.1	. . . 4 ⊢ (xRy → yRx)
3		ster.2	. . . 4 ⊢ ((xRy ⋀ yRz) → xRz)
4	2, 3	pm3.2i 285	. . 3 ⊢ ((xRy → yRx) ⋀ ((xRy ⋀ yRz) → xRz))
5	4	gen2 985	. 2 ⊢ ∀y∀z((xRy → yRx) ⋀ ((xRy ⋀ yRz) → xRz))
6	1, 5	mpgbir 990	1 ⊢ Er R

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 956   class class class wbr 2624  Er wer 4264

This theorem is referenced by:  ider 4275  eqer 4277  ecopoprer 4318  ener 4416  hmpher 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192  df-co 3193  df-er 4267

Copyright terms: Public domain