Theorem subclt 5379

Description: Closure law for subtraction.

Assertion

Ref	Expression
subclt	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A − B) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → (A − B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) − B))
2	1	eleq1d 1543	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → ((A − B) ∈ ℂ ↔ ( if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) ∈ ℂ))
3		opreq2 3975	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → ( if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)))
4	3	eleq1d 1543	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → (( if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) ∈ ℂ ↔ ( if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) ∈ ℂ))
5		0cn 5340	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6	5	elimel 2398	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℂ, A, 0) ∈ ℂ
7	5	elimel 2398	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℂ, B, 0) ∈ ℂ
8	6, 7	subcl 5378	. 2 ⊢ ( if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) ∈ ℂ
9	2, 4, 8	dedth2h 2391	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A − B) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ifcif 2365  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246   − cmin 5304

This theorem is referenced by:  negclt 5380  subopr 5382  pncan3t 5389  addsubt 5396  addsub12t 5398  npncant 5412  nppcant 5413  subdit 5439  subdirt 5440  subsub2t 5473  subsub4t 5476  nnncant 5478  nnncan1t 5479  nnncan2t 5480  subadd4t 5487  pnpcant 5490  recextlem1 5694  recext 5696  muleqaddt 5712  halfaddsubcl 6042  halfaddsubt 6043  elnnnn0 6174  uzindOLD 6210  shftval2t 6348  2shft 6353  shftcan2t 6354  seq1seq02t 6544  seqzp1 6549  seq0p1 6552  seqzval2t 6554  subsqt 6643  subsq2t 6644  cjclt 6765  sqabssubt 6849  abs3dift 6899  abs2dift 6902  abs2difabst 6903  caubnd 6926  caure 6927  cauim 6928  ser1absdiflem 6929  fsumconst 7038  clm4le 7081  2climnn 7102  2climnn0 7103  climrecl 7110  climaddlem3 7116  climmullem3 7122  climmullem4 7123  climmullem5 7124  climabslem 7148  climcj 7150  climre 7151  climim 7152  climcau 7156  serzf0 7169  ser1f0 7170  cvgcmp3c 7186  georeclim 7240  geoisumr 7243  geoisum1c 7245  abscncflem 7274  recncf 7276  imcncf 7277  cjcncf 7278  mulc1cncf 7279  efaddlem16 7353  sinclt 7431  sinnegt 7442  efivalt 7447  addsint 7457  subcost 7460  cnmet 7901  ioo2bl 7909  subcn 7984  sm1cnilem 8343  ipval2 8353  4ipval2 8354  4ipval3 8358  ipcj 8363  sinco 8662  efimpi 8693  abssinper 8707  hvmulcan2t 8935  occllem6 9173  pjthlem8 9221  lnfncon 9985  mslb1 10600  2wsms 10601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368

Copyright terms: Public domain