Theorem unctb 7578

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	⊢ ((A ≼ ω ⋀ B ≼ ω) → (A ∪ B) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 2520	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ⋀ B ∈ V) → ∪{A, B} = (A ∪ B))
2		reldom 4379	. . . 4 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelexi 3214	. . 3 ⊢ (A ≼ ω → A ∈ V)
4	2	brrelexi 3214	. . 3 ⊢ (B ≼ ω → B ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2an 456	. 2 ⊢ ((A ≼ ω ⋀ B ≼ ω) → ∪{A, B} = (A ∪ B))
6		breq1 2627	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (x ≼ ω ↔ A ≼ ω))
7	6	biimprcd 156	. . . . . 6 ⊢ (A ≼ ω → (x = A → x ≼ ω))
8		breq1 2627	. . . . . . 7 ⊢ (x = B → (x ≼ ω ↔ B ≼ ω))
9	8	biimprcd 156	. . . . . 6 ⊢ (B ≼ ω → (x = B → x ≼ ω))
10	7, 9	jaao 429	. . . . 5 ⊢ ((A ≼ ω ⋀ B ≼ ω) → ((x = A ⋁ x = B) → x ≼ ω))
11		visset 1816	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
12	11	elpr 2428	. . . . 5 ⊢ (x ∈ {A, B} ↔ (x = A ⋁ x = B))
13	10, 12	syl5ib 206	. . . 4 ⊢ ((A ≼ ω ⋀ B ≼ ω) → (x ∈ {A, B} → x ≼ ω))
14	13	r19.21aiv 1716	. . 3 ⊢ ((A ≼ ω ⋀ B ≼ ω) → ∀x ∈ {A, B}x ≼ ω)
15		prfi 4568	. . . . . 6 ⊢ {A, B} ∈ Fin
16		isfinite1 4539	. . . . . 6 ⊢ ({A, B} ∈ Fin → ({A, B} ≼ ω ⋀ ¬ ω ≈ {A, B}))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ({A, B} ≼ ω ⋀ ¬ ω ≈ {A, B})
18	17	pm3.26i 320	. . . 4 ⊢ {A, B} ≼ ω
19		prex 2787	. . . . 5 ⊢ {A, B} ∈ V
20	19	unictb 7577	. . . 4 ⊢ (({A, B} ≼ ω ⋀ ∀x ∈ {A, B}x ≼ ω) → ∪{A, B} ≼ ω)
21	18, 20	mpan 697	. . 3 ⊢ (∀x ∈ {A, B}x ≼ ω → ∪{A, B} ≼ ω)
22	14, 21	syl 10	. 2 ⊢ ((A ≼ ω ⋀ B ≼ ω) → ∪{A, B} ≼ ω)
23	5, 22	eqbrtrrd 2642	1 ⊢ ((A ≼ ω ⋀ B ≼ ω) → (A ∪ B) ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  Vcvv 1814   ∪ cun 2048  {cpr 2414  ∪cuni 2507   class class class wbr 2624  ωcom 3137   ≈ cen 4370   ≼ cdom 4371  Fincfn 4373

This theorem is referenced by:  cctop 7649

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-iso 3205  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-2o 4140  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-r1 4653  df-rank 4654  df-card 4826  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain