Theorem unierr 10032

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) F, G by other unitary transformations S, T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195.

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	⊢ F ∈ UniOp
unierr.2	⊢ G ∈ UniOp
unierr.3	⊢ S ∈ UniOp
unierr.4	⊢ T ∈ UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierr	⊢ (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T))) ≤ ((normop ‘(F −op S)) + (normop ‘(G −op T)))

Proof of Theorem unierr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 ⊢ F ∈ UniOp
2		unopbdt 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (F ∈ UniOp → F ∈ BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ F ∈ BndLinOp
4		bdopft 9784	. . . . . . 7 ⊢ (F ∈ BndLinOp → F: ℋ –→ ℋ )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ F: ℋ –→ ℋ
6		unierr.2	. . . . . . . 8 ⊢ G ∈ UniOp
7		unopbdt 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (G ∈ UniOp → G ∈ BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ G ∈ BndLinOp
9		bdopft 9784	. . . . . . 7 ⊢ (G ∈ BndLinOp → G: ℋ –→ ℋ )
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ G: ℋ –→ ℋ
11	5, 10	hocof 9687	. . . . 5 ⊢ (F ∘ G): ℋ –→ ℋ
12		unierr.3	. . . . . . . 8 ⊢ S ∈ UniOp
13		unopbdt 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (S ∈ UniOp → S ∈ BndLinOp)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ S ∈ BndLinOp
15		bdopft 9784	. . . . . . 7 ⊢ (S ∈ BndLinOp → S: ℋ –→ ℋ )
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ S: ℋ –→ ℋ
17		unierr.4	. . . . . . . 8 ⊢ T ∈ UniOp
18		unopbdt 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (T ∈ UniOp → T ∈ BndLinOp)
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ T ∈ BndLinOp
20		bdopft 9784	. . . . . . 7 ⊢ (T ∈ BndLinOp → T: ℋ –→ ℋ )
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ T: ℋ –→ ℋ
22	16, 21	hocof 9687	. . . . 5 ⊢ (S ∘ T): ℋ –→ ℋ
23	11, 22	hosubcl 9690	. . . 4 ⊢ ((F ∘ G) −op (S ∘ T)): ℋ –→ ℋ
24		nmop0h 9911	. . . 4 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ⋀ ((F ∘ G) −op (S ∘ T)): ℋ –→ ℋ ) → (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T))) = 0)
25	23, 24	mpan2 698	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T))) = 0)
26	5, 16	hosubcl 9690	. . . . . 6 ⊢ (F −op S): ℋ –→ ℋ
27		nmop0h 9911	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ⋀ (F −op S): ℋ –→ ℋ ) → (normop ‘(F −op S)) = 0)
28	26, 27	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop ‘(F −op S)) = 0)
29	10, 21	hosubcl 9690	. . . . . 6 ⊢ (G −op T): ℋ –→ ℋ
30		nmop0h 9911	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ⋀ (G −op T): ℋ –→ ℋ ) → (normop ‘(G −op T)) = 0)
31	29, 30	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop ‘(G −op T)) = 0)
32	28, 31	opreq12d 3984	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → ((normop ‘(F −op S)) + (normop ‘(G −op T))) = (0 + 0))
33		0re 5452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
34	33	leid 5622	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
35		0cn 5340	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
36	35	addid1 5342	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
37	34, 36	breqtrr 2645	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (0 + 0)
38	32, 37	syl5breqr 2656	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → 0 ≤ ((normop ‘(F −op S)) + (normop ‘(G −op T))))
39	25, 38	eqbrtrd 2640	. 2 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T))) ≤ ((normop ‘(F −op S)) + (normop ‘(G −op T))))
40		nmopunt 9934	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ⋀ G ∈ UniOp) → (normop ‘G) = 1)
41	6, 40	mpan2 698	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop ‘G) = 1)
42	41	opreq2d 3982	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) = ((normop ‘(F −op S)) · 1))
43	3, 14	bdophd 10025	. . . . . . . 8 ⊢ (F −op S) ∈ BndLinOp
44		nmopret 9792	. . . . . . . 8 ⊢ ((F −op S) ∈ BndLinOp → (normop ‘(F −op S)) ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘(F −op S)) ∈ ℝ
46	45	recn 5326	. . . . . 6 ⊢ (normop ‘(F −op S)) ∈ ℂ
47	46	mulid1 5344	. . . . 5 ⊢ ((normop ‘(F −op S)) · 1) = (normop ‘(F −op S))
48	42, 47	syl6eq 1526	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) = (normop ‘(F −op S)))
49		nmopunt 9934	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ⋀ S ∈ UniOp) → (normop ‘S) = 1)
50	12, 49	mpan2 698	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop ‘S) = 1)
51	50	opreq1d 3981	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T))) = (1 · (normop ‘(G −op T))))
52	8, 19	bdophd 10025	. . . . . . . 8 ⊢ (G −op T) ∈ BndLinOp
53		nmopret 9792	. . . . . . . 8 ⊢ ((G −op T) ∈ BndLinOp → (normop ‘(G −op T)) ∈ ℝ)
54	52, 53	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘(G −op T)) ∈ ℝ
55	54	recn 5326	. . . . . 6 ⊢ (normop ‘(G −op T)) ∈ ℂ
56	55	mulid2 5345	. . . . 5 ⊢ (1 · (normop ‘(G −op T))) = (normop ‘(G −op T))
57	51, 56	syl6eq 1526	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T))) = (normop ‘(G −op T)))
58	48, 57	opreq12d 3984	. . 3 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T)))) = ((normop ‘(F −op S)) + (normop ‘(G −op T))))
59	16, 10	hocof 9687	. . . . . 6 ⊢ (S ∘ G): ℋ –→ ℋ
60	11, 59, 22	honpncan 9748	. . . . 5 ⊢ (((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T))) = ((F ∘ G) −op (S ∘ T))
61	60	fveq2i 3733	. . . 4 ⊢ (normop ‘(((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) = (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T)))
62	3, 8	bdopco 10026	. . . . . . 7 ⊢ (F ∘ G) ∈ BndLinOp
63	14, 8	bdopco 10026	. . . . . . 7 ⊢ (S ∘ G) ∈ BndLinOp
64	62, 63	bdophd 10025	. . . . . 6 ⊢ ((F ∘ G) −op (S ∘ G)) ∈ BndLinOp
65	14, 19	bdopco 10026	. . . . . . 7 ⊢ (S ∘ T) ∈ BndLinOp
66	63, 65	bdophd 10025	. . . . . 6 ⊢ ((S ∘ G) −op (S ∘ T)) ∈ BndLinOp
67	64, 66	nmoptri 10022	. . . . 5 ⊢ (normop ‘(((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ≤ ((normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) + (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T))))
68	5, 16, 10	hocsubdir 9701	. . . . . . . 8 ⊢ ((F −op S) ∘ G) = ((F ∘ G) −op (S ∘ G))
69	68	fveq2i 3733	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘((F −op S) ∘ G)) = (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G)))
70	43, 8	nmopco 10023	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘((F −op S) ∘ G)) ≤ ((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G))
71	69, 70	eqbrtrr 2641	. . . . . 6 ⊢ (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) ≤ ((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G))
72		bdoplnt 9783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (S ∈ BndLinOp → S ∈ LinOp)
73	14, 72	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ S ∈ LinOp
74	73, 10, 21	hoddi 9909	. . . . . . . 8 ⊢ (S ∘ (G −op T)) = ((S ∘ G) −op (S ∘ T))
75	74	fveq2i 3733	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘(S ∘ (G −op T))) = (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T)))
76	14, 52	nmopco 10023	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘(S ∘ (G −op T))) ≤ ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T)))
77	75, 76	eqbrtrr 2641	. . . . . 6 ⊢ (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T))) ≤ ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T)))
78		nmopret 9792	. . . . . . . 8 ⊢ (((F ∘ G) −op (S ∘ G)) ∈ BndLinOp → (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) ∈ ℝ)
79	64, 78	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) ∈ ℝ
80		nmopret 9792	. . . . . . . 8 ⊢ (((S ∘ G) −op (S ∘ T)) ∈ BndLinOp → (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T))) ∈ ℝ)
81	66, 80	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T))) ∈ ℝ
82		nmopret 9792	. . . . . . . . 9 ⊢ (G ∈ BndLinOp → (normop ‘G) ∈ ℝ)
83	8, 82	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (normop ‘G) ∈ ℝ
84	45, 83	remulcl 5347	. . . . . . 7 ⊢ ((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) ∈ ℝ
85		nmopret 9792	. . . . . . . . 9 ⊢ (S ∈ BndLinOp → (normop ‘S) ∈ ℝ)
86	14, 85	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (normop ‘S) ∈ ℝ
87	86, 54	remulcl 5347	. . . . . . 7 ⊢ ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T))) ∈ ℝ
88	79, 81, 84, 87	le2add 5609	. . . . . 6 ⊢ (((normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) ≤ ((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) ⋀ (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T))) ≤ ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T)))) → ((normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) + (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ≤ (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T)))))
89	71, 77, 88	mp2an 699	. . . . 5 ⊢ ((normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) + (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ≤ (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T))))
90	64, 66	bdophs 10024	. . . . . . 7 ⊢ (((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T))) ∈ BndLinOp
91		nmopret 9792	. . . . . . 7 ⊢ ((((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T))) ∈ BndLinOp → (normop ‘(((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ∈ ℝ)
92	90, 91	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (normop ‘(((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ∈ ℝ
93	79, 81	readdcl 5346	. . . . . 6 ⊢ ((normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) + (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ∈ ℝ
94	84, 87	readdcl 5346	. . . . . 6 ⊢ (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T)))) ∈ ℝ
95	92, 93, 94	letr 5600	. . . . 5 ⊢ (((normop ‘(((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ≤ ((normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) + (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ⋀ ((normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ G))) + (normop ‘((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ≤ (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T))))) → (normop ‘(((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ≤ (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T)))))
96	67, 89, 95	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (normop ‘(((F ∘ G) −op (S ∘ G)) +op ((S ∘ G) −op (S ∘ T)))) ≤ (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T))))
97	61, 96	eqbrtrr 2641	. . 3 ⊢ (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T))) ≤ (((normop ‘(F −op S)) · (normop ‘G)) + ((normop ‘S) · (normop ‘(G −op T))))
98	58, 97	syl5breq 2655	. 2 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T))) ≤ ((normop ‘(F −op S)) + (normop ‘(G −op T))))
99	39, 98	pm2.61ine 1637	1 ⊢ (normop ‘((F ∘ G) −op (S ∘ T))) ≤ ((normop ‘(F −op S)) + (normop ‘(G −op T)))

Syntax hints:   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ∘ ccom 3180  –→wf 3184   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   ≤ cle 5307   ℋ chil 8783  0_ℋc0h 8799   +_op chos 8802   −_op chod 8804  norm_opcnop 8809  LinOpclo 8811  BndLinOpcbo 8812  UniOpcuo 8813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-lno 8401  df-nmo 8402  df-0o 8404  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-pj 9232  df-hosum 9501  df-homul 9502  df-hodif 9503  df-h0op 9669  df-nmop 9760  df-lnop 9762  df-bdop 9763  df-unop 9764  df-hmop 9765

Copyright terms: Public domain