Theorem uniex2 2875

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists.

Assertion

Ref	Expression
uniex2	⊢ ∃y y = ∪x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem uniex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axun 2873	. . . 4 ⊢ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y)
2		eluni 2510	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ∪x ↔ ∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x))
3	2	imbi1i 186	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ∪x → z ∈ y) ↔ (∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
4	3	albii 1001	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ ∪x → z ∈ y) ↔ ∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
5	4	exbii 1053	. . . 4 ⊢ (∃y∀z(z ∈ ∪x → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
6	1, 5	mpbir 190	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ ∪x → z ∈ y)
7	6	bm1.3ii 2711	. 2 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪x)
8		dfcleq 1473	. . 3 ⊢ (y = ∪x ↔ ∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪x))
9	8	exbii 1053	. 2 ⊢ (∃y y = ∪x ↔ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪x))
10	7, 9	mpbir 190	1 ⊢ ∃y y = ∪x

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∪cuni 2507

This theorem is referenced by:  uniex 2876

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815  df-uni 2508

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