Theorem uniimadomf 4821

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. This version of uniimadom 4820 uses a bound-variable hypothesis in place of a distinct variable condition.

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadomf.1	⊢ (y ∈ F → ∀x y ∈ F)
uniimadomf.2	⊢ A ∈ V
uniimadomf.3	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uniimadomf	⊢ ((Fun F ⋀ ∀x ∈ A (F ‘x) ≼ B) → ∪(F “ A) ≼ (A × B))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   y,F

Proof of Theorem uniimadomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadomf.2	. . 3 ⊢ A ∈ V
2		uniimadomf.3	. . 3 ⊢ B ∈ V
3	1, 2	uniimadom 4820	. 2 ⊢ ((Fun F ⋀ ∀z ∈ A (F ‘z) ≼ B) → ∪(F “ A) ≼ (A × B))
4		ax-17 973	. . 3 ⊢ ((F ‘x) ≼ B → ∀z(F ‘x) ≼ B)
5		uniimadomf.1	. . . . 5 ⊢ (y ∈ F → ∀x y ∈ F)
6		ax-17 973	. . . . 5 ⊢ (y ∈ z → ∀x y ∈ z)
7	5, 6	hbfv 3735	. . . 4 ⊢ (y ∈ (F ‘z) → ∀x y ∈ (F ‘z))
8		ax-17 973	. . . 4 ⊢ (y ∈ ≼ → ∀x y ∈ ≼ )
9		ax-17 973	. . . 4 ⊢ (y ∈ B → ∀x y ∈ B)
10	7, 8, 9	hbbr 2663	. . 3 ⊢ ((F ‘z) ≼ B → ∀x(F ‘z) ≼ B)
11		fveq2 3730	. . . 4 ⊢ (x = z → (F ‘x) = (F ‘z))
12	11	breq1d 2634	. . 3 ⊢ (x = z → ((F ‘x) ≼ B ↔ (F ‘z) ≼ B))
13	4, 10, 12	cbvral 1801	. 2 ⊢ (∀x ∈ A (F ‘x) ≼ B ↔ ∀z ∈ A (F ‘z) ≼ B)
14	3, 13	sylan2b 454	1 ⊢ ((Fun F ⋀ ∀x ∈ A (F ‘x) ≼ B) → ∪(F “ A) ≼ (A × B))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  Vcvv 1814  ∪cuni 2507   class class class wbr 2624   × cxp 3174   “ cima 3179  Fun wfun 3182   ‘cfv 3188   ≼ cdom 4371

This theorem is referenced by:  iundom 4822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-en 4374  df-dom 4375  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain