Theorem unipw 2762

Description: A class equals the union of its power class. Exercise 6(a) of [Enderton] p. 38.

Assertion

Ref	Expression
unipw	⊢ ∪℘A = A

Proof of Theorem unipw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 2510	. . . 4 ⊢ (x ∈ ∪℘A ↔ ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ ℘A))
2		visset 1816	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
3	2	elpw 2408	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℘A ↔ y ⊆ A)
4		ssel 2066	. . . . . . 7 ⊢ (y ⊆ A → (x ∈ y → x ∈ A))
5	3, 4	sylbi 199	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℘A → (x ∈ y → x ∈ A))
6	5	impcom 351	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ∈ ℘A) → x ∈ A)
7	6	19.23aiv 1297	. . . 4 ⊢ (∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ ℘A) → x ∈ A)
8	1, 7	sylbi 199	. . 3 ⊢ (x ∈ ∪℘A → x ∈ A)
9	8	ssriv 2072	. 2 ⊢ ∪℘A ⊆ A
10		visset 1816	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
11	10	snid 2439	. . . . 5 ⊢ x ∈ {x}
12		snex 2756	. . . . . 6 ⊢ {x} ∈ V
13		eleq2 1538	. . . . . . 7 ⊢ (y = {x} → (x ∈ y ↔ x ∈ {x}))
14		eleq1 1537	. . . . . . 7 ⊢ (y = {x} → (y ∈ ℘A ↔ {x} ∈ ℘A))
15	13, 14	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (y = {x} → ((x ∈ y ⋀ y ∈ ℘A) ↔ (x ∈ {x} ⋀ {x} ∈ ℘A)))
16	12, 15	cla4ev 1872	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ {x} ⋀ {x} ∈ ℘A) → ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ ℘A))
17	11, 16	mpan 697	. . . 4 ⊢ ({x} ∈ ℘A → ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ ℘A))
18	10	snelpw 2758	. . . 4 ⊢ (x ∈ A ↔ {x} ∈ ℘A)
19	17, 18, 1	3imtr4 219	. . 3 ⊢ (x ∈ A → x ∈ ∪℘A)
20	19	ssriv 2072	. 2 ⊢ A ⊆ ∪℘A
21	9, 20	eqssi 2081	1 ⊢ ∪℘A = A

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982   ⊆ wss 2050  ℘cpw 2405  {csn 2413  ∪cuni 2507

This theorem is referenced by:  sspwuni 2764  pwexb 2914  univ 2915  unixpss 3264  unirnioo 6403  distop 7646  distps 7651  cncnplem1 7771  uniopn 7858  opnuni 7865  dfchsup2 9293  hsupval2t 9295  hsupvalt 9296  shsupclt 9301  shsupunss 9310  mapdiscn 10497  fgsb 10555  dtopcl 10586  dtt2 10589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-uni 2508

Copyright terms: Public domain