Theorem uniun 2523

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
uniun	⊢ ∪(A ∪ B) = (∪A ∪ ∪B)

Proof of Theorem uniun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1090	. . . 4 ⊢ (∃y((x ∈ y ⋀ y ∈ A) ⋁ (x ∈ y ⋀ y ∈ B)) ↔ (∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ A) ⋁ ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ B)))
2		elun 2176	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (A ∪ B) ↔ (y ∈ A ⋁ y ∈ B))
3	2	anbi2i 482	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ∈ (A ∪ B)) ↔ (x ∈ y ⋀ (y ∈ A ⋁ y ∈ B)))
4		andi 606	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ⋀ (y ∈ A ⋁ y ∈ B)) ↔ ((x ∈ y ⋀ y ∈ A) ⋁ (x ∈ y ⋀ y ∈ B)))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ∈ (A ∪ B)) ↔ ((x ∈ y ⋀ y ∈ A) ⋁ (x ∈ y ⋀ y ∈ B)))
6	5	exbii 1053	. . . 4 ⊢ (∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ (A ∪ B)) ↔ ∃y((x ∈ y ⋀ y ∈ A) ⋁ (x ∈ y ⋀ y ∈ B)))
7		eluni 2510	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪A ↔ ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ A))
8		eluni 2510	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪B ↔ ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ B))
9	7, 8	orbi12i 257	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ∪A ⋁ x ∈ ∪B) ↔ (∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ A) ⋁ ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ B)))
10	1, 6, 9	3bitr4 183	. . 3 ⊢ (∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ (A ∪ B)) ↔ (x ∈ ∪A ⋁ x ∈ ∪B))
11		eluni 2510	. . 3 ⊢ (x ∈ ∪(A ∪ B) ↔ ∃y(x ∈ y ⋀ y ∈ (A ∪ B)))
12		elun 2176	. . 3 ⊢ (x ∈ (∪A ∪ ∪B) ↔ (x ∈ ∪A ⋁ x ∈ ∪B))
13	10, 11, 12	3bitr4 183	. 2 ⊢ (x ∈ ∪(A ∪ B) ↔ x ∈ (∪A ∪ ∪B))
14	13	eqriv 1477	1 ⊢ ∪(A ∪ B) = (∪A ∪ ∪B)

Syntax hints:   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982   ∪ cun 2048  ∪cuni 2507

This theorem is referenced by:  unidif0 2744  unisuc 3052  onuninsuc 3114  oaabs 4258  unifiOLD 4570

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815  df-un 2053  df-uni 2508

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