Theorem unnei 7732

Description: The union of the neighborhoods of a set equals the topology's underlying set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	⊢ X = ∪J

Assertion

Ref	Expression
unnei	⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ∪((nei ‘J) ‘S) = X)

Proof of Theorem unnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissel 2531	. 2 ⊢ ((∪((nei ‘J) ‘S) ⊆ X ⋀ X ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → ∪((nei ‘J) ‘S) = X)
2		tpnei.1	. . . . . . 7 ⊢ X = ∪J
3	2	neii1 7718	. . . . . 6 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ x ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → x ⊆ X)
4	3	ex 373	. . . . 5 ⊢ (J ∈ Top → (x ∈ ((nei ‘J) ‘S) → x ⊆ X))
5	4	adantr 391	. . . 4 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → (x ∈ ((nei ‘J) ‘S) → x ⊆ X))
6	5	r19.21aiv 1716	. . 3 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ∀x ∈ ((nei ‘J) ‘S)x ⊆ X)
7		unissb 2532	. . 3 ⊢ (∪((nei ‘J) ‘S) ⊆ X ↔ ∀x ∈ ((nei ‘J) ‘S)x ⊆ X)
8	6, 7	sylibr 200	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ∪((nei ‘J) ‘S) ⊆ X)
9	2	tpnei 7731	. . 3 ⊢ (J ∈ Top → (S ⊆ X ↔ X ∈ ((nei ‘J) ‘S)))
10	9	biimpa 418	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → X ∈ ((nei ‘J) ‘S))
11	1, 8, 10	sylanc 473	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ∪((nei ‘J) ‘S) = X)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648   ⊆ wss 2050  ∪cuni 2507   ‘cfv 3188  Topctop 7590  neicnei 7709

This theorem is referenced by:  neifil 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-top 7594  df-nei 7710

Copyright terms: Public domain